Considere os vetores . Mostre que:
a) .
b) .
c) O produto vetorial é comutativo ?
d) O produto vetorial é associativo ?
Passo 1
O enunciado pede para calcular vários produtos vetoriais em e mostrar que o produto vetorial não é comutativo nem associativo. Vamos usar a fórmula determinantal
e depois comparar os resultados.
Passo 2
Calcular utimesv. Usando
u=(1,0,0), v=(1,1,0),
temos
utimesv = i&j&k 1&0&0 1&1&0 =l(0,;0,;1r)
Passo 3
Calcular vtimesu. Usando
v=(1,1,0), u=(1,0,0),
obtém-se
vtimesu = i&j&k 1&1&0 1&0&0 =l(0,;0,;-1r)
Passo 4
Calcular (utimesv)timesw. Primeiro utimesv=(0,0,1). Então, com w=(1,1,1),
Comparando utimesv=(0,0,1) com vtimesu=(0,0,-1), vemos que
vtimesu=-,(utimesv),
logo o produto vetorial não é comutativo.
Passo 7
Como
(utimesv)timesw=(-1,1,0) e utimes(vtimesw)=(0,0,-1),
e esses dois vetores são diferentes, o produto vetorial não é associativo.
Resposta
(a) utimesv=(0,0,1), vtimesu=(0,0,-1).
(b) (utimesv)timesw=(-1,1,0), utimes(vtimesw)=(0,0,-1).
(c) Não, o produto vetorial não é comutativo.
(d) Não, o produto vetorial não é associativo.