Considere os vetores u=(1,0,0), v=(1,1,0), w=(1,1,1). Mostre que:
a) u wed>= v=(0,0,1), v wed>= u=(1,-1,0).
b) (u wed>= v) wed>= w=(-1,1,0), u wed>=(v wed>= w)=(0,0,-1).
c) O produto vetorial é comutativo ?
d) O produto vetorial é associativo ?

Passo 1

O enunciado pede para calcular vários produtos vetoriais em R^3 e mostrar que o produto vetorial não é comutativo nem associativo. Vamos usar a fórmula determinantal
atimesb = i&j&k a1&a2&a3 b1&b2&b3
e depois comparar os resultados.

Passo 2

Calcular utimesv. Usando
u=(1,0,0), v=(1,1,0),
temos
utimesv = i&j&k 1&0&0 1&1&0 =l(0,;0,;1r)

Passo 3

Calcular vtimesu. Usando
v=(1,1,0), u=(1,0,0),
obtém-se
vtimesu = i&j&k 1&1&0 1&0&0 =l(0,;0,;-1r)

Passo 4

Calcular (utimesv)timesw. Primeiro utimesv=(0,0,1). Então, com w=(1,1,1),
(utimesv)timesw = i&j&k 0&0&1 1&1&1 =l(-1,;1,;0r)

Passo 5

Calcular utimes(vtimesw). Primeiro
vtimesw = i&j&k 1&1&0 1&1&1 =l(1,;-1,;0r)
Depois
utimes(vtimesw) = i&j&k 1&0&0 1&-1&0 =l(0,;0,;-1r)

Passo 6

Comparando utimesv=(0,0,1) com vtimesu=(0,0,-1), vemos que
vtimesu=-,(utimesv),
logo o produto vetorial não é comutativo.

Passo 7

Como
(utimesv)timesw=(-1,1,0) e utimes(vtimesw)=(0,0,-1),
e esses dois vetores são diferentes, o produto vetorial não é associativo.

Resposta

(a) utimesv=(0,0,1), vtimesu=(0,0,-1).
(b) (utimesv)timesw=(-1,1,0), utimes(vtimesw)=(0,0,-1).
(c) Não, o produto vetorial não é comutativo.
(d) Não, o produto vetorial não é associativo.

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