Calcule alpha, beta, gamma tais que a=(0,-2,1), b=(1,-1, alpha), c=(beta, gamma, 2) forme uma base ortogonal.

Passo 1

O enunciado pede para ajustar alpha,beta,gamma de modo que os vetores
vec a=(0,-2,1), vec b=(1,-1,alpha), vec c=(beta,gamma,2)
sejam mutuamente ortogonais. Vamos usar aqui o conceito de produto escalar: dois vetores são ortogonais se, e somente se, o produto escalar entre eles for zero.

Passo 2

Calculamos vec acdotvec b=0. Pelo produto escalar,
vec acdotvec b = 0cdot1 + (-2)cdot(-1) + 1cdotalpha = 2 + alpha
Para ficar ortogonal, 2+alpha=0, logo
alpha = -2

Passo 3

Agora vec acdotvec c=0. Temos
vec acdotvec c = 0cdotbeta + (-2)cdotgamma + 1cdot2 = -2gamma + 2
Impondo -2gamma+2=0 obtém-se
gamma = 1

Passo 4

Por fim, vec bcdotvec c=0. Substituindo alpha=-2 e gamma=1,
vec bcdotvec c = 1cdotbeta + (-1)cdot1 + (-2)cdot2 = beta - 1 - 4 = beta - 5
Para ser zero, beta - 5 = 0, então
beta = 5

Resposta

alpha=-2, beta=5, gamma=1.

Exercícios relacionados