16* - Um cubo de alumínio de aresta a flutua no mercúrio com uma distância h submersa, quando a temperatura é 20 C. Quanto afundará (ou emergirá) se a temperatura subir para 70 C ?

Passo 1

O enunciado diz que um cubo de alumínio de aresta a flutua em mercúrio de densidade rho0 submerso até a altura h quando a temperatura é 20,^circC. Ao aquecermos até 70,^circC (variação De<a T=50,K), tanto o alumínio quanto o mercúrio sofrem dilatação térmica. Para achar a nova altura submersa h', vamos usar:
  1. Equilíbrio de forças (empuxo = peso) antes e depois do aquecimento.
  2. Coeficiente linear de dilatação do alumínio alpha (logo volumétrico betarm Al=3alpha).
  3. Coeficiente volumétrico de dilatação do mercúrio betarm Hg.

Passo 2

Equilíbrio no estado inicial ( 20,^circC): o peso do cubo
m,g = rhorm Hg,0,g,(a^2,h)
onde rhorm Hg,0 é a densidade do mercúrio a 20,^circC. Logo
m = rhorm Hg,0,a^2,h

Passo 3

Ao subir a temperatura em De<a T:
  • A aresta do cubo vira
a' = a,(1 + alpha,De<a T)
  • A densidade do mercúrio diminui pelo coeficiente volumétrico betarm Hg:
rhorm Hg(T) = rhorm Hg,01 + betarm Hg,De<a Tapprox rhorm Hg,0l(1 - betarm Hg,De<a Tr)

Passo 4

No novo equilíbrio ( 70,^circC):
m,g = rhorm Hg(T),g;l(a'^2,h'r)
Substituindo m de antes e resolvendo para h':
h' = rhorm Hg,0,a^2,hrhorm Hg(T),a'^2 = h;rhorm Hg,0rhorm Hg(T); 1(1+alpha,De<a T)^2 = h;1+betarm Hg,De<a T(1+alpha,De<a T)^2

Passo 5

A mudança De<a h = h' - h fica então
De<a h = h![ 1+betarm Hg,De<a T(1+alpha,De<a T)^2 - 1 ]
Para alpha,De<a Tll1 e betarm Hg,De<a Tll1 expandimos em série e achamos
De<a h approx h,(betarm Hg - 2,alpha),De<a T
Isto diz se afunda ( De<a h>0) quando betarm Hg>2alpha, caso contrário emerge.

Resposta

h' = h;1+betarm Hg,De<a T(1+alpha,De<a T)^2 Longrightarrow De<a h = h![ 1+betarm Hg,De<a T(1+alpha,De<a T)^2 - 1 ] approx h,(betarm Hg - 2alpha),De<a T

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