18- Dada a função f(x, y)=e^{2 x+3 y}
a) Calcular \frac{\partial^{3} f}{\partial x^{3}} e \frac{\partial^{3} f}{\partial y^{3}}
b) Verificar que \frac{\partial^{3} f}{\partial y^{2} \partial x}=\frac{\partial^{3} f}{\partial x \partial y^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=e^{2x+3y}
e pede (a) as derivadas parciais de terceira ordem \frac{\partial^3 f}{\partial x^3} e \frac{\partial^3 f}{\partial y^3}, e (b) mostrar que
\frac{\partial^3 f}{\partial y^2\partial x} =\frac{\partial^3 f}{\partial x\partial y^2}.
O conteúdo envolve derivadas parciais de funções exponenciais e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas parciais em x sucessivas. A regra da cadeia diz que
\frac{\partial}{\partial x}e^{2x+3y} =2\,e^{2x+3y}.
Logo
f_x=2e^{2x+3y}, \quad f_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}(2e^{2x+3y}) =2\cdot2\,e^{2x+3y}=4e^{2x+3y},
f_{xxx}=\frac{\partial}{\partial x}(4e^{2x+3y}) =4\cdot2\,e^{2x+3y}=8e^{2x+3y}.

Passo 3

Agora as derivadas parciais em y. Pela mesma regra da cadeia,
\frac{\partial}{\partial y}e^{2x+3y} =3\,e^{2x+3y}.
Assim
f_y=3e^{2x+3y}, \quad f_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}(3e^{2x+3y}) =3\cdot3\,e^{2x+3y}=9e^{2x+3y},
f_{yyy}=\frac{\partial}{\partial y}(9e^{2x+3y}) =9\cdot3\,e^{2x+3y}=27e^{2x+3y}.

Passo 4

Para verificar a igualdade de derivadas mistas, calculamos primeiro
\frac{\partial^3 f}{\partial y^2\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(f_{yy}\bigr) =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(9e^{2x+3y}\bigr) =9\cdot2\,e^{2x+3y} =18e^{2x+3y}.

Passo 5

Em seguida calculamos
\frac{\partial^3 f}{\partial x\partial y^2} =\frac{\partial^2}{\partial y^2}\bigl(f_x\bigr) =\frac{\partial^2}{\partial y^2}\bigl(2e^{2x+3y}\bigr).
A primeira derivada em y
\frac{\partial}{\partial y}(2e^{2x+3y})=2\cdot3\,e^{2x+3y}=6e^{2x+3y},
e a segunda
\frac{\partial}{\partial y}(6e^{2x+3y}) =6\cdot3\,e^{2x+3y} =18e^{2x+3y}.

Passo 6

Como ambas as derivadas mistas de ordem três valem
\;18e^{2x+3y}, concluímos que
\frac{\partial^3 f}{\partial y^2\partial x} =\frac{\partial^3 f}{\partial x\partial y^2},
como previsto pelo teorema de Clairaut.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial^3 f}{\partial x^3}=8e^{2x+3y},\quad \frac{\partial^3 f}{\partial y^3}=27e^{2x+3y}, e
\displaystyle \frac{\partial^3 f}{\partial y^2\partial x} =\frac{\partial^3 f}{\partial x\partial y^2}=18e^{2x+3y}.

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