16- Dados os vetores (1,-4,6),(1,4,4) e (0,-4, x), determinar o valor de x para que sejam LI.

Passo 1

Beleza, o enunciado dá três vetores em R^3: (1,-4,6), (1,4,4) e (0,-4,x). Queremos achar o valor de x para que eles sejam linearmente independentes. A ideia é usar Álgebra Linear: três vetores em R^3 são independentes se e só se o determinante da matriz que eles formam é diferente de zero.

Passo 2

Formamos a matriz cujas linhas são os vetores dados:
A = 1 & -4 & 61 & 4 & 40 & -4 & x
A condição de independência linear é
det(A) neq 0

Passo 3

Para calcular o determinante, expandimos pela primeira linha:
det(A) = 1 cdot det4 & 4-4 & x -(-4)cdot det1 & 40 & x +6 cdot det1 & 40 & -4
Calculando os menores:
det4 & 4-4 & x = 4x + 16, det1 & 40 & x = x, det1 & 40 & -4 = -4
Substituindo e simplificando, obtemos
det(A) = (4x+16) + 4x + 6(-4) = 4x+16+4x-24 = 8x - 8

Passo 4

Para garantir independência, impomos
8x - 8 neq 0,
que dá
x neq 1

Resposta

x neq 1

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