Sabendo que v1, v2 e v3 são LI verificar a dependência ou independência linear dos seguintes conjuntos:
v1+v2-v3, v2+v3, 2 v1

Passo 1

O enunciado diz que ,v1,v2,v3, são vetores linearmente independentes num espaço vetorial e pede para verificar se o conjunto
,v1+v2-v3,;v2+v3,;2v1
é linearmente dependente ou independente. Vamos usar o método de combinação linear igual a zero e explorar a independência de ,v1,v2,v3,.

Passo 2

Considere a combinação linear
alpha,(v1+v2-v3) ;+;beta,(v2+v3);+;gamma,(2v1) ;=;0
O objetivo é ver se as únicas soluções são alpha=beta=gamma=0.

Passo 3

Expandindo e agrupando segundo v1,v2,v3, obtemos
(alpha + 2gamma),v1;+;(alpha + beta),v2;+;(-alpha + beta),v3;=;0
Como v1,v2,v3 são independentes, cada coeficiente deve anular-se.

Passo 4

Escrevendo o sistema de coeficientes nulos:
alpha + 2gamma = 0, alpha + beta = 0, -alpha + beta = 0
Da segunda equação beta=-alpha. Da terceira beta=alpha. Logo alpha=-alphaRightarrowalpha=0, daí beta=0. Substituindo na primeira vem 2gamma=0Rightarrowgamma=0.

Passo 5

A única solução é alpha=beta=gamma=0, ou seja, não há combinação não-trivial. Portanto o conjunto dado é linearmente independente.

Resposta

O conjunto ,v1+v2-v3,;v2+v3,;2v1 é linearmente independente.

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