17- Se os vetores u , v e w são LI, então os vetores u+2 v-3 w, 2 u+v-w e 3 u+5 v-6 w são LI?

Passo 1

O enunciado diz que u,v,w são vetores linearmente independentes e pergunta se os vetores
a = u + 2v - 3w, b = 2u + v - w, c = 3u + 5v - 6w
também são linearmente independentes. Para responder, vamos usar o critério do determinante na base u,v,w: se a matriz de mudança de base que leva u,v,w em a,b,c tiver determinante não nulo, então a,b,c são LI.

Passo 2

Expressamos as coordenadas de a,b,c na base u,v,w. As colunas da matriz M são exatamente essas coordenadas:
M = 1 & 2 & 3 2 & 1 & 5 -3 & -1 & -6

Passo 3

Calculamos o determinante de M por expansão em primeira linha:
det M = 1cdotdet1&5-1&-6 -2cdotdet2&5-3&-6 +3cdotdet2&1-3&-1
Agora,
det1&5-1&-6=-6-(-5)=-1, det2&5-3&-6=-12-(-15)=3, det2&1-3&-1=-2-(-3)=1
Logo,
det M = 1cdot(-1) -2cdot3 +3cdot1 = -1 -6 +3 = -4

Passo 4

Como det M = -4 neq 0, a mudança de base é invertível e, portanto, os vetores a,b,c são linearmente independentes.

Resposta

Sim, os vetores u+2v-3w, 2u+v-w e 3u+5v-6w são linearmente independentes.

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