Sabendo que v1, v2 e v3 são LI verificar a dependência ou independência linear dos seguintes conjuntos:
v1, v2+a v3, v3+v2

Passo 1

O enunciado dá que v1,v2,v3 é independente linear (LI) e nos pede para verificar se
,v1,,v2+a,v3,,v3+v2
é LI ou linearmente dependente (LD). Vamos usar a definição de independência linear: a combinação
c1v1+c2(v2+a v3)+c3(v3+v2)=0
implica em quais condições nos coeficientes.

Passo 2

Escrevemos a combinação geral e igualamos a zero:
c1v1+c2(v2+a v3)+c3(v3+v2)=0

Passo 3

Expandindo em termos de v1,v2,v3:
c1v1 + (c2+c3)v2 + (a,c2+c3)v3 = 0
Como v1,v2,v3 é LI, cada coeficiente deve ser zero:
c1=0, c2+c3=0, a,c2+c3=0

Passo 4

Da segunda equação vem c3=-c2. Substituindo na terceira:
a,c2-c2=0 ;Longrightarrow; c2(a-1)=0
Se aneq1, então c2=0 e c3=0, restando apenas c1=0: só a solução trivial existe, logo o conjunto é LI.
Se a=1, temos c2 livre e c3=-c2neq0 em geral, gerando solução não trivial, logo o conjunto é LD.

Resposta

Para aneq1 o conjunto é independente linear.
Para a=1 o conjunto é linearmente dependente.

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