18- Achar os valores de x , para os quais os vetores ew sejam LI.
Passo 1
O enunciado pede os valores de para os quais os vetores
são linearmente independentes em . Para três vetores em , o critério é que o determinante da matriz cujas colunas (ou linhas) são esses vetores seja diferente de zero.
Passo 2
Organizamos como colunas da matriz
Então os vetores são LI se, e somente se,
det A neq 0
Passo 3
Usando a expansão pela primeira linha de A, temos
det A = x 2x-1 & x x+2 & -x -2x 1-x & x x & -x +(-2x) 1-x & 2x-1 x & x+2
Calculando cada subdeterminante:
(2x-1)(-x)-x(x+2) = -3x^2 - x,
(1-x)(-x)-xcdot x = -x,
(1-x)(x+2)-(2x-1)x = -3x^2 + 2
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det A = x(-3x^2 - x) ;-;2x(-x);+;(-2x)(-3x^2+2)
Passo 4
Simplificando a expressão:
det A = -3x^3 - x^2 +2x^2 +6x^3 -4x = 3x^3 + x^2 -4x = x,(3x^2 + x -4) = x(3x+4)(x-1)