18- Achar os valores de x , para os quais os vetores u=(x, 1-x, x), v=(2 x, 2 x-1, x+2) ew w (-2 x, x,-x) sejam LI.

Passo 1

O enunciado pede os valores de x para os quais os vetores
u=(x,1-x,x), v=(2x,2x-1,x+2), w=(-2x,x,-x)
são linearmente independentes em R^3. Para três vetores em R^3, o critério é que o determinante da matriz cujas colunas (ou linhas) são esses vetores seja diferente de zero.

Passo 2

Organizamos u,v,w como colunas da matriz
A = x & 2x & -2x 1-x & 2x-1 & x x & x+2 & -x
Então os vetores são LI se, e somente se,
det A neq 0

Passo 3

Usando a expansão pela primeira linha de A, temos
det A = x 2x-1 & x x+2 & -x -2x 1-x & x x & -x +(-2x) 1-x & 2x-1 x & x+2
Calculando cada subdeterminante:
(2x-1)(-x)-x(x+2) = -3x^2 - x,
(1-x)(-x)-xcdot x = -x,
(1-x)(x+2)-(2x-1)x = -3x^2 + 2
Logo
det A = x(-3x^2 - x) ;-;2x(-x);+;(-2x)(-3x^2+2)

Passo 4

Simplificando a expressão:
det A = -3x^3 - x^2 +2x^2 +6x^3 -4x = 3x^3 + x^2 -4x = x,(3x^2 + x -4) = x(3x+4)(x-1)
Portanto det Aneq 0 exatamente quando
xneq 0, 3x+4neq 0 (ie xneq -tfrac43), x-1neq 0 (ie xneq 1)

Resposta

Os vetores u,v,w são linearmente independentes para todos os xinR exceto
x = 0, x = 1, x = -tfrac43

Exercícios relacionados