Obtenha no regime estático as leis da eletrostática e da magnetostática. Mostre que o campo eletrostático pode ser expresso na forma E=-nabla phi, onde phi é o potencial escalar elétrico. Por que isso é válido? Obtenha a equação de Poisson na Eletrostática.

Passo 1

O enunciado pede para obter as equações do regime estático da eletrostática e da magnetostática, mostrar que o campo eletrostático é conservativo e pode ser escrito como E=-nablaphi, justificando por que isso é válido, e deduzir a equação de Poisson na eletrostática. Vamos usar as equações de Maxwell gerais e assumir partial/partial t=0.

Passo 2

Partimos das equações de Maxwell no vácuo, mas em regime estático ( partial/partial t=0). A Lei de Gauss para o campo elétrico fica:
nablacdotE=rhovarepsilon0
A Lei de Faraday se reduz a:
nablatimesE=-partialBpartial t=0
A Lei de Gauss para o campo magnético é:
nablacdotB=0
E a Lei de Ampère–Maxwell vira a Lei de Ampère na magnetostática:
nablatimesB=mu0J

Passo 3

Da equação nablatimesE=0 vemos que o campo elétrico é conservativo. Em regiões simplesmente conectadas, um campo conservativo pode sempre ser escrito como o gradiente de um potencial escalar up to um sinal. Assim definimos o potencial elétrico phi via:
E=-nablaphi
Isso é válido porque a integral de linha de E entre dois pontos independe do caminho escolhido quando nablatimesE=0.

Passo 4

Para chegar à equação de Poisson, aplicamos a divergência em E=-nablaphi e usamos a Lei de Gauss na eletrostática:
nablacdotE=-nablacdot(nablaphi)=-nabla^2phi
Como também
nablacdotE=rhovarepsilon0
iguais, obtemos
-nabla^2phi=rhovarepsilon0
ou seja
nabla^2phi=-rhovarepsilon0
que é a equação de Poisson na eletrostática.

Resposta

Equações do regime estático:
Eletrostática:
nablacdotE=rhovarepsilon0,
nablatimesE=0
Magnetostática:
nablacdotB=0,
nablatimesB=mu0J
O campo eletrostático é conservativo porque nablatimesE=0, logo existe potencial escalar phi tal que
E=-nablaphi
Dessa forma, aplicando a divergência em E e usando nablacdotE=rho/varepsilon0, obtemos a equação de Poisson:
nabla^2phi=-rhovarepsilon0

Exercícios relacionados