Obtenha no regime estático as leis da eletrostática e da magnetostática. Mostre que o campo eletrostático pode ser expresso na forma
, onde
é o potencial escalar elétrico. Por que isso é válido? Obtenha a equação de Poisson na Eletrostática.
Passo 1
O enunciado pede para obter as equações do regime estático da eletrostática e da magnetostática, mostrar que o campo eletrostático é conservativo e pode ser escrito como
, justificando por que isso é válido, e deduzir a equação de Poisson na eletrostática. Vamos usar as equações de Maxwell gerais e assumir
.
Passo 2
Partimos das equações de Maxwell no vácuo, mas em regime estático (
). A Lei de Gauss para o campo elétrico fica:
A Lei de Faraday se reduz a:
A Lei de Gauss para o campo magnético é:
E a Lei de Ampère–Maxwell vira a Lei de Ampère na magnetostática:
Passo 3
Da equação
vemos que o campo elétrico é conservativo. Em regiões simplesmente conectadas, um campo conservativo pode sempre ser escrito como o gradiente de um potencial escalar up to um sinal. Assim definimos o potencial elétrico
via:
Isso é válido porque a integral de linha de
entre dois pontos independe do caminho escolhido quando
.
Passo 4
Para chegar à equação de Poisson, aplicamos a divergência em
e usamos a Lei de Gauss na eletrostática:
Como também
iguais, obtemos
ou seja
que é a equação de Poisson na eletrostática.
Resposta
Equações do regime estático:
Eletrostática:
Magnetostática:
O campo eletrostático é conservativo porque
, logo existe potencial escalar
tal que
Dessa forma, aplicando a divergência em
e usando
, obtemos a equação de Poisson: