Mostre a partir da Lei de Ampère-Maxwell e da Lei de Gauss-Coulomb (nabla cdot D=rho), que a equação da continuidade é consequência das equações de Maxwell.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que a equação da continuidade (conservação de carga) é consequência direta de duas das equações de Maxwell: a Lei de Ampère–Maxwell e a Lei de Gauss–Coulomb. Estamos em eletromagnetismo clássico e vamos usar operações vetoriais (divergência e rotacional) e a propriedade de que a divergência do rotacional de qualquer campo é zero.

Passo 2

Escrevemos primeiro a Lei de Ampère–Maxwell na forma diferencial:
nabla times H = J + partial Dpartial t
ela relaciona o rotacional do campo magnético H à densidade de corrente J acrescida do termo de deslocamento partial D/partial t.

Passo 3

Aplicamos a divergência em ambos os lados dessa equação. Como sabemos, para qualquer campo vetorial A vale nablacdot(nablatimesA)=0. Logo, tomando divergência:
0 = nablacdotJ + nablacdotpartial Dpartial t

Passo 4

Trocamos a ordem de derivação temporal e divergência no segundo termo:
nablacdotpartial Dpartial t = partialpartial t(nablacdotD)
Em seguida usamos a Lei de Gauss–Coulomb em meio material (equação de Maxwell): nablacdotD=rho, que liga a densidade de fluxo elétrico D à densidade de carga rho.

Passo 5

Substituindo na expressão anterior obtemos diretamente:
0 = nablacdotJ + partial rhopartial t
E esta é exatamente a equação da continuidade, mostrando que a conservação de carga decorre das equações de Maxwell.

Resposta

nabla cdot J + partial rhopartial t = 0

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