Mostre a partir da Lei de Ampère-Maxwell e da Lei de Gauss-Coulomb
, que a equação da continuidade é consequência das equações de Maxwell.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que a equação da continuidade (conservação de carga) é consequência direta de duas das equações de Maxwell: a Lei de Ampère–Maxwell e a Lei de Gauss–Coulomb. Estamos em eletromagnetismo clássico e vamos usar operações vetoriais (divergência e rotacional) e a propriedade de que a divergência do rotacional de qualquer campo é zero.
Passo 2
Escrevemos primeiro a Lei de Ampère–Maxwell na forma diferencial:
ela relaciona o rotacional do campo magnético
à densidade de corrente
acrescida do termo de deslocamento
.
Passo 3
Aplicamos a divergência em ambos os lados dessa equação. Como sabemos, para qualquer campo vetorial
vale
. Logo, tomando divergência:
Passo 4
Trocamos a ordem de derivação temporal e divergência no segundo termo:
Em seguida usamos a Lei de Gauss–Coulomb em meio material (equação de Maxwell):
, que liga a densidade de fluxo elétrico
à densidade de carga
.
Passo 5
Substituindo na expressão anterior obtemos diretamente:
E esta é exatamente a equação da continuidade, mostrando que a conservação de carga decorre das equações de Maxwell.