22) \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\sqrt{4 x^{2}+x}-3 x\right)
]

Passo 1

O enunciado pede calcular \displaystyle \lim_{x\to+\infty}\bigl(\sqrt{4x^{2}+x}-3x\bigr).
Esse limite faz parte do conteúdo de limites no infinito envolvendo raiz quadrada. Para resolvê-lo, vamos usar o truque de multiplicar pela expressão conjugada e analisar o comportamento dominante dos termos para x grande.

Passo 2

Multiplicamos e dividimos pela conjugada \sqrt{4x^{2}+x}+3x:
\sqrt{4x^{2}+x}-3x = \frac{\bigl(\sqrt{4x^{2}+x}-3x\bigr)\bigl(\sqrt{4x^{2}+x}+3x\bigr)}{\sqrt{4x^{2}+x}+3x} = \frac{4x^{2}+x-9x^{2}}{\sqrt{4x^{2}+x}+3x} = \frac{-5x^{2}+x}{\sqrt{4x^{2}+x}+3x}

Passo 3

Para x\to+\infty, observa-se que
\sqrt{4x^{2}+x} = x\sqrt{4+\frac1x} = x\bigl(2+o(1)\bigr)
portanto
\sqrt{4x^{2}+x}+3x = x\bigl(2+o(1)\bigr)+3x = 5x+o(x).
O numerador é -5x^{2}+x = x(-5x+1). Assim
\frac{-5x^{2}+x}{\sqrt{4x^{2}+x}+3x} = \frac{x(-5x+1)}{5x+o(x)} = \frac{-5x+1}{5+o(1)}.

Passo 4

Como \frac{-5x+1}{5+o(1)}\sim -x quando x\to+\infty, concluímos que a expressão tende a -\infty.

Resposta

-\infty

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