O QI de 16 estudantes de uma região de certa cidade apresentou média 107, com desvio padrão 10. Há uma diferença significativa entre os QIs dos dois grupos, nos níveis de significância de 0,01?
Resp. a) Aceita-se hipótese nula. t calc =-1,49

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos os QIs (Quociente de Inteligência) de 16 estudantes de uma determinada região, com uma média de 107 e um desvio padrão de 10. A questão quer saber se há uma diferença significativa entre os QIs de dois grupos de estudantes, usando um nível de significância de 0,01 (ou 1%). Para resolver isso, vamos usar o teste t para comparar médias de dois grupos.

Passo 2

Primeiro, precisamos definir as hipóteses do nosso teste:
  • Hipótese Nula ( ): Não há diferença significativa entre as médias dos QIs dos dois grupos. Ou seja, quaisquer diferenças observadas são devidas ao acaso.
  • Hipótese Alternativa ( ): Há uma diferença significativa entre as médias dos QIs dos dois grupos.

Passo 3

Como estamos comparando as médias de dois grupos e temos o desvio padrão da população, usaremos o teste t de Student. A fórmula para calcular o valor t é:
t = barX1 - barX2sp raiz2n
Onde:
  • e são as médias dos dois grupos.
  • é o desvio padrão combinado.
  • é o número de observações em cada grupo.

Passo 4

No exercício, só recebemos a média e o desvio padrão de um grupo (16 estudantes), então vamos assumir que o segundo grupo tem a mesma média e desvio padrão para simplificação, ou que estamos comparando a média com algum valor padrão. Assim, o cálculo do t se simplifica para:
t = barX - mu0sraizn
Onde:
  • (média observada)
  • é a média hipotética (supondo que seja a média padrão, por exemplo, 100)
  • (desvio padrão)

Passo 5

Vamos substituir os valores na fórmula:
t = 107 - 10010raiz16 = 7104 = 72,5 = 2,8

Passo 6

Agora, precisamos comparar o valor calculado de t com o valor crítico da tabela t para 15 graus de liberdade (n-1) e nível de significância de 0,01. O valor crítico para um teste bilateral é aproximadamente 2,947.

Passo 7

Como , não rejeitamos a hipótese nula. Isso significa que não há evidências suficientes para afirmar que há uma diferença significativa entre os grupos de QI ao nível de 1%.

Resposta

a) Aceita-se hipótese nula.

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