Uma amostra de tamanho
de uma população normal com variância
, acusou média 15. Determinar intervalos de confiança de
de confiança para a média populacional
. Interpretar o intervalo de confiança.
Resp. a)
Resp. a)
Passo 1
Vamos lá! A gente tem uma amostra de tamanho
de uma população que segue uma distribuição normal. Sabemos que a variância da população é
e a média da amostra é
. Nosso objetivo aqui é determinar um intervalo de confiança de 90% para a média populacional
. Para isso, vamos precisar usar a distribuição normal e a fórmula do intervalo de confiança quando a variância é conhecida.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um intervalo de confiança. Basicamente, é um intervalo dentro do qual esperamos que a média verdadeira da população esteja, com um certo nível de confiança (neste caso, 90%). Para calcular esse intervalo, usamos a seguinte fórmula:
Aqui:
-
é a média da amostra. -
é o valor crítico da distribuição normal para o nível de confiança desejado. -
é o desvio padrão da população. -
é o tamanho da amostra.
Passo 3
Agora, vamos identificar cada um desses componentes com os valores que temos:
Para um nível de confiança de 90%,
, então
. Precisamos encontrar o valor de
, que corresponde ao percentil de 95% na distribuição normal padrão. Esse valor é aproximadamente 1,645.
Passo 4
Agora, vamos substituir esses valores na fórmula do intervalo de confiança:
Primeiro, vamos calcular o denominador:
Então:
Passo 5
Continuando os cálculos:
Portanto, o intervalo de confiança fica:
Isso significa que:
Resposta
O intervalo de confiança de 90% para a média populacional
é
. Isso significa que temos 90% de confiança de que a verdadeira média da população está entre 11,71 e 18,29.