Uma amostra de tamanho n=25 de uma população normal com variância sigma^2=100, acusou média 15. Determinar intervalos de confiança de 90 % de confiança para a média populacional mu. Interpretar o intervalo de confiança.
Resp. a) [11,72 ; 18,28] ;

Passo 1

Vamos lá! A gente tem uma amostra de tamanho de uma população que segue uma distribuição normal. Sabemos que a variância da população é e a média da amostra é . Nosso objetivo aqui é determinar um intervalo de confiança de 90% para a média populacional . Para isso, vamos precisar usar a distribuição normal e a fórmula do intervalo de confiança quando a variância é conhecida.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um intervalo de confiança. Basicamente, é um intervalo dentro do qual esperamos que a média verdadeira da população esteja, com um certo nível de confiança (neste caso, 90%). Para calcular esse intervalo, usamos a seguinte fórmula:
barx pm Zalpha/2 times sigmaraizn
Aqui:
  • é a média da amostra.
  • é o valor crítico da distribuição normal para o nível de confiança desejado.
  • é o desvio padrão da população.
  • é o tamanho da amostra.

Passo 3

Agora, vamos identificar cada um desses componentes com os valores que temos:
Para um nível de confiança de 90%, , então . Precisamos encontrar o valor de , que corresponde ao percentil de 95% na distribuição normal padrão. Esse valor é aproximadamente 1,645.

Passo 4

Agora, vamos substituir esses valores na fórmula do intervalo de confiança:
15 pm 1,645 times 10raiz25
Primeiro, vamos calcular o denominador:
raiz25 = 5
Então:
15 pm 1,645 times 105 = 15 pm 1,645 times 2

Passo 5

Continuando os cálculos:
1,645 times 2 = 3,29
Portanto, o intervalo de confiança fica:
15 pm 3,29
Isso significa que:
15 - 3,29 = 11,71
15 + 3,29 = 18,29

Resposta

O intervalo de confiança de 90% para a média populacional é . Isso significa que temos 90% de confiança de que a verdadeira média da população está entre 11,71 e 18,29.

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