Determine o valor do volume do sólido delimitado pelos cilindro parabólicos
e pelos planos
e
.
(V= 16/15 u.v.)
(V= 16/15 u.v.)
Passo 1
Resumo do enunciado e o que vamos usar: A questão pede o volume do sólido limitado pelo cilindro parabólico y = x² e pelos planos z = 3y e z = 2 + y. O conteúdo envolvido é cálculo de volume via integral tripla. Para resolver, precisamos projetar o sólido no plano xy, encontrar a região D e usar os limites em z de cada plano.
Passo 2
Determinar a região D no plano xy: Observamos que lateralmente o sólido é limitado por y = x². Além disso, para existir volume entre os planos é preciso 2 + y ≥ 3y, ou seja y ≤ 1. Como y = x² implica y ≥ 0, a projeção D é
$$
D = {(x,y): 0 \le y \le 1,,-\sqrt{y} \le x \le \sqrt{y}}\n$$
Passo 3
Encontrar limites em z: Para cada ponto de D, o sólido varia verticalmente de baixo para cima entre
e
Passo 4
Escrever a integral tripla do volume:
Passo 5
Integrar em z primeiro:
Logo
Passo 6
Integrar em x:
Agora o volume fica
Passo 7
Calcular a integral em y: Primeiro separamos
Multiplicando por 4, obtemos o volume