Determine o valor do volume do sólido delimitado pelos cilindro parabólicos y=x^2 e pelos planos z=3 y e z=2+y.
(V= 16/15 u.v.)

Passo 1

Resumo do enunciado e o que vamos usar: A questão pede o volume do sólido limitado pelo cilindro parabólico y = x² e pelos planos z = 3y e z = 2 + y. O conteúdo envolvido é cálculo de volume via integral tripla. Para resolver, precisamos projetar o sólido no plano xy, encontrar a região D e usar os limites em z de cada plano.

Passo 2

Determinar a região D no plano xy: Observamos que lateralmente o sólido é limitado por y = x². Além disso, para existir volume entre os planos é preciso 2 + y ≥ 3y, ou seja y ≤ 1. Como y = x² implica y ≥ 0, a projeção D é
$$
D = {(x,y): 0 \le y \le 1,,-\sqrt{y} \le x \le \sqrt{y}}\n$$

Passo 3

Encontrar limites em z: Para cada ponto de D, o sólido varia verticalmente de baixo para cima entre
zinf = 3y
e
zsup = 2 + y

Passo 4

Escrever a integral tripla do volume:
V = integraly=0^1 integralx=-raizy^raizy integralz=3y^2+y dz,dx,dy

Passo 5

Integrar em z primeiro:
integral3y^2+y dz = (2 + y) - (3y) = 2 - 2y
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V = integral0^1 integral-raizy^raizy (2 - 2y),dx,dy

Passo 6

Integrar em x:
integral-raizy^raizy (2 - 2y),dx = (2 - 2y) cdot 2raizy = 4(1 - y)raizy
Agora o volume fica
V = integral0^1 4(1 - y)raizy,dy

Passo 7

Calcular a integral em y: Primeiro separamos
integral0^1 (1 - y)raizy,dy = integral0^1 y^1/2 dy - integral0^1 y^3/2 dy = 23 - 25 = 415
Multiplicando por 4, obtemos o volume
V = 4 cdot 415 = 1615

Resposta

1615 u.v.

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