1. Seja um campo vetorial no plano, dado por F=nabla phi+nabla times B, tal que nabla times B é um vetor constante de módulo 2. Determine as possíveis soluções da integral
ointC F cdot d r,
onde o caminho C é um círculo de raio 1 centrado na origem.

Passo 1

O enunciado diz para calcular a integral de linha fechada ointCvec Fcdot dvec r, sendo vec F=nablaphi+nablatimesvec B e sabendo que nablatimesvec B é um vetor constante de módulo 2. Vamos usar propriedades de campos conservativos e de campos constantes.

Passo 2

Sabendo que nablaphi é um campo gradiente, ele é conservativo. Logo
ointCnablaphicdot dvec r=0,
pois a integral de linha de um campo conservativo em contorno fechado é zero.

Passo 3

Sobrou então a parte constante. Seja vec c=nablatimesvec B, com |vec c|=2. Então
ointC(nablatimesvec B)cdot dvec r=ointCvec ccdot dvec r=vec ccdotointC dvec r

Passo 4

Porém ointCdvec r=vec 0 para qualquer curva fechada. Portanto
vec ccdotointCdvec r=0

Passo 5

Somando as duas partes (gradiente e constante), a integral total é zero.

Resposta

0

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