16- \int_{0}^{1}\left(5 x^{4}-\frac{2}{x^{2}}+4\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para avaliar
16 - \int_{0}^{1}\bigl(5x^{4} - \tfrac{2}{x^{2}} + 4\bigr)\,dx.
Repare que existe um termo \tfrac{2}{x^{2}} que é singular em x=0, o que torna este um integral impróprio. Nosso plano é verificar a convergência de cada parcela e, se convergente, calcular o valor numérico.

Passo 2

Vamos quebrar o integral em três partes:
\int_{0}^{1}\bigl(5x^{4} - \tfrac{2}{x^{2}} + 4\bigr)\,dx = \int_{0}^{1}5x^{4}\,dx \;-\; 2\int_{0}^{1}x^{-2}\,dx \;+\; \int_{0}^{1}4\,dx.
Pelo critério de p-integral em zero, sabemos que
\displaystyle\int_{0}^{1}x^{a}\,dx converge se, e somente se, a>-1.
Aqui, para x^{-2} temos a=-2\le-1, indicando que
\displaystyle\int_{0}^{1}x^{-2}\,dx é divergente.

Passo 3

Ainda assim, calculamos as parcelas que convergem:
\int_{0}^{1}5x^{4}\,dx =5\cdot\frac{x^{5}}{5}\Big|_{0}^{1} =1,
\int_{0}^{1}4\,dx =4x\Big|_{0}^{1} =4.

Passo 4

Agora, analisamos o termo divergente:
\int_{0}^{1}x^{-2}\,dx =\lim_{\varepsilon\to0^{+}}\int_{\varepsilon}^{1}x^{-2}\,dx =\lim_{\varepsilon\to0^{+}}\Bigl[-x^{-1}\Bigr]_{\varepsilon}^{1} =\lim_{\varepsilon\to0^{+}}\bigl(-1 + \tfrac{1}{\varepsilon}\bigr) =+\infty.
Multiplicando por -2 fica -2\cdot(+\infty)=-\infty. Assim,
\displaystyle\int_{0}^{1}\bigl(5x^{4}-2x^{-2}+4\bigr)\,dx =1 + (-\infty) + 4 = -\infty,
logo o integral não converge para um valor finito.

Resposta

O integral \displaystyle\int_{0}^{1}\bigl(5x^{4}-\tfrac{2}{x^{2}}+4\bigr)\,dx é divergente, portanto a expressão
16 - \int_{0}^{1}\bigl(5x^{4} - \tfrac{2}{x^{2}} + 4\bigr)\,dx
não está definida como número real (diverge).

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