46-\int \frac{1}{x^{3}-x} d x

Passo 1

O enunciado pede encontrar
46 \;-\;\int \frac{1}{x^{3}-x}\,dx.
O conteúdo aqui é a técnica de frações parciais para integrar \tfrac{1}{x^{3}-x}.

Passo 2

Fatoramos o denominador:
x^{3}-x = x\,(x^{2}-1)=x\,(x-1)\,(x+1).
Logo, procuramos constantes A, B e C tais que
\frac{1}{x\,(x-1)\,(x+1)} =\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{x+1}.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por x(x-1)(x+1), obtém-se
1 = A\,(x-1)(x+1) + B\,x(x+1) + C\,x(x-1).
Expandindo e agrupando coeficientes em x^{2}, x e termo constante:
A+B+C = 0,\quad B - C = 0,\quad -A = 1.
Daí A=-1, B=C e -1 + 2B = 0 implica B=C=\tfrac12.

Passo 4

Substituindo na integral:
\int \frac{1}{x^{3}-x}\,dx = \int\Bigl(-\frac{1}{x}+\frac{1/2}{x-1}+\frac{1/2}{x+1}\Bigr)\,dx =-\ln|x|+\tfrac12\ln|x-1|+\tfrac12\ln|x+1|+C.

Passo 5

Agora computamos
46-\int \frac{1}{x^{3}-x}\,dx =46+\ln|x|-\tfrac12\ln|x-1|-\tfrac12\ln|x+1|+C',
onde C' é constante arbitrária.

Resposta

46-\int \frac{1}{x^{3}-x}\,dx =46+\ln\bigl|x\bigr|-\tfrac12\ln\bigl|x-1\bigr|-\tfrac12\ln\bigl|x+1\bigr|+C.

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