48-\int \frac{6 x^{2}+5 x+1}{x^{3}+x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
48 \;-\;\int \frac{6x^{2} + 5x + 1}{x^{3} + x}\,dx.
O conteúdo principal aqui é decomposição em frações parciais para integrar a racional \frac{6x^{2}+5x+1}{x(x^{2}+1)}.

Passo 2

Reescrevemos o denominador x^{3}+x como
x^{3}+x = x\,(x^{2}+1),
logo a integral vira
\int \frac{6x^{2} + 5x + 1}{x\,(x^{2}+1)}\,dx.

Passo 3

Fazemos a decomposição em frações parciais: suponha
\frac{6x^{2}+5x+1}{x(x^{2}+1)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx + C}{x^{2}+1}.
Multiplicando ambos os lados por x(x^{2}+1) obtemos
6x^{2}+5x+1 = A(x^{2}+1) + (Bx+C)\,x = A x^{2} + A + Bx^{2} + Cx = (A+B)x^{2} + Cx + A.

Passo 4

Igualamos coeficientes de potências de x:
(1) Coeficiente de x^{2}: A + B = 6
(2) Coeficiente de x: C = 5
(3) Termo constante: A = 1
Logo A=1, C=5 e B = 6 - A = 5.
Portanto
\frac{6x^{2}+5x+1}{x(x^{2}+1)} = \frac{1}{x} + \frac{5x+5}{x^{2}+1} = \frac{1}{x} + 5\;\frac{x}{x^{2}+1} \;+\;5\;\frac{1}{x^{2}+1}.

Passo 5

Integramos termo a termo:
\int \frac{1}{x}\,dx = \ln\bigl|x\bigr|, \quad \int 5\,\frac{x}{x^{2}+1}\,dx = \frac{5}{2}\,\ln\bigl(x^{2}+1\bigr), \quad \int 5\,\frac{1}{x^{2}+1}\,dx =5\,\arctan(x).
Somando, a integral vale
\int \frac{6x^{2}+5x+1}{x^{3}+x}\,dx = \ln\bigl|x\bigr| \;+\;\frac{5}{2}\,\ln\bigl(x^{2}+1\bigr)\;+\;5\,\arctan(x)\;+\;C.

Passo 6

Voltando ao que o enunciado pediu, subtrai-se esse resultado de 48:
48 \;-\;\int \frac{6x^{2}+5x+1}{x^{3}+x}\,dx = 48 \;-\;\Bigl[\ln\bigl|x\bigr| + \tfrac{5}{2}\ln(x^{2}+1) +5\,\arctan(x)\Bigr] + C.

Resposta

48 \;-\;\int \frac{6x^{2}+5x+1}{x^{3}+x}\,dx = 48 \;-\;\ln\bigl|x\bigr| \;-\;\frac{5}{2}\,\ln\bigl(x^{2}+1\bigr)\;-\;5\,\arctan(x)\;+\;C.

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