Exercício 4. (Valor: 3.0) Suponha que a máquina do exercício anterior, está sob controle quando é regulada para encher pacotes com 500 g , em média. E continua seguindo uma distribuição normal. Desejamos avaliar, periodicamente, se a produção está sob controle, senão os engenheiros poderão ficar sem café! Para isso, usamos uma amostra de 16 pacotes.
a) Qual teste (bilateral/ unilateral) você usaria para avaliar se pararia ou não a produção para regular a máquina? Indique as hipóteses a serem testadas.
b) Se uma das amostras apresentasse uma média de 492 g , você pararia ou não a produção para regular a máquina?
a) Qual teste (bilateral/ unilateral) você usaria para avaliar se pararia ou não a produção para regular a máquina? Indique as hipóteses a serem testadas.
b) Se uma das amostras apresentasse uma média de 492 g , você pararia ou não a produção para regular a máquina?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e perguntas:
- A máquina foi regulada para encher pacotes com média de
e continua seguindo uma distribuição normal. - Usamos uma amostra de tamanho
. - Parte (a): querem saber que tipo de teste usar (bilateral ou unilateral) e quais são as hipóteses que devemos testar.
- Parte (b): dada uma amostra com média
, decidir se devo parar a produção para regular a máquina ou não.
Observação importante que aparece no enunciado implícita: não foi fornecido o desvio padrão populacionalnem o desvio padrão da amostra . Vou explicitar isso e tratar os dois casos (com conhecido e com desconhecido), porque para decidir precisamos dessa informação.
Passo 2
Escolha do tipo de teste (explicação didática e informal)
- Um teste unilateral verifica só uma direção (por exemplo, se a média diminuiu:
ou só se aumentou: ). - Um teste bilateral verifica se a média é diferente do alvo em qualquer direção (
).
Raciocínio aplicado aqui: tanto subencher (média menor que) quanto sobreencher (média maior que ) são indesejáveis — um desperdício ou produto fora da especificação — logo precisamos detectar desvios em ambas as direções. Portanto escolhemos um teste bilateral.
As hipóteses então são:
Explicando:
é a verdadeira média de massa dos pacotes;
diz que a máquina continua regulada em
;
diz que houve mudança (para mais ou para menos).
Passo 3
Qual estatística usar e por quê (aula curta)
- Se a distribuição é normal e o desvio padrão populacional
for conhecido, usamos o teste-z com estatística
Aqui
é a média da amostra,
é a média sob
,
é o desvio padrão populacional e
é o tamanho da amostra. Rejeitamos
para um teste bilateral de nível
se
onde
é o quantil da distribuição normal padrão (por exemplo
para
).
- Se
for desconhecido e tivermos o desvio padrão amostral , usamos o teste-t com estatística
comparando com os quantis da t de Student com
graus de liberdade. Como aqui não foi dado
, não podemos efetuar o teste-t numérico sem essa informação.
Passo 4
Expressar a decisão em função de
(cálculo simbólico + números)
- Primeiro calcule a diferença observada:
- Para o teste-z bilateral, a condição de rejeição
equivale a:
Com
isso fica
- Agora valores práticos:
- Para nível de significância
(teste bilateral clássico de 5%), temos . Assim
Ou seja, se o desvio padrão populacional for menor que aproximadamente , a média é significativamente diferente de ao nível e devemos rejeitar (parar e regular). - Se estivermos usando uma regra de controle tipo “3-sigma” (limites a
erros padrões, que é comum em cartas de controle), então a condição é . Ou seja, com essa regra mais exigente, só pararia se fosse menor que cerca de .
- Para nível de significância
- Exemplos numéricos ilustrativos (para você sentir):
- Se
: . Como , rejeita-se (parar). - Se
: . Como , não rejeita-se (não parar).
- Se
- Se
for desconhecido e você tiver somente (sem ), então não dá para concluir numericamente — você precisa do da amostra ou de uma estimativa de a partir de histórico para aplicar o teste-t ou o teste-z.
Passo 5
Conclusão prática (como decidir na prova e na fábrica)
- Na prova: escreva que usará teste bilateral com hipóteses
e . Escreva a estatística (ou se desconhecido) e a regra de rejeição em termos de (ou ). Se souber , calcule e compare; se só tiver , calcule e compare. - Na prática/fabrica: com
e a decisão depende do tamanho de . Ao nível você para a produção para regular se . Se a política da fábrica for usar limites a erros-padrão, então para parar precisa ter . - Frase de incentivo: não entre em pânico — o raciocínio é sempre o mesmo: pauta o teste, escreva a estatística e compare com o limite; se faltar
ou , peça esse valor (ou use histórico) e então decida.
Resposta
(a) Teste bilateral com hipóteses
(b) Com
e
não é possível decidir sem conhecer
(ou o
da amostra). Se
for conhecido, então para um teste bilateral a
rejeita-se
(isto é, para-se a produção) quando
; usando limites de tipo 3-sigma rejeita-se quando
. Em exemplo concreto: se
pare; se
não pare.