Exercício 4. (Valor: 3.0) Suponha que a máquina do exercício anterior, está sob controle quando é regulada para encher pacotes com 500 g , em média. E continua seguindo uma distribuição normal. Desejamos avaliar, periodicamente, se a produção está sob controle, senão os engenheiros poderão ficar sem café! Para isso, usamos uma amostra de 16 pacotes.
a) Qual teste (bilateral/ unilateral) você usaria para avaliar se pararia ou não a produção para regular a máquina? Indique as hipóteses a serem testadas.
b) Se uma das amostras apresentasse uma média de 492 g , você pararia ou não a produção para regular a máquina?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e perguntas:
  • A máquina foi regulada para encher pacotes com média de \,500\\ \text{g}\, e continua seguindo uma distribuição normal.
  • Usamos uma amostra de tamanho \,n=16\,.
  • Parte (a): querem saber que tipo de teste usar (bilateral ou unilateral) e quais são as hipóteses que devemos testar.
  • Parte (b): dada uma amostra com média \,\bar{x}=492\\ \text{g}\,, decidir se devo parar a produção para regular a máquina ou não.
    Observação importante que aparece no enunciado implícita: não foi fornecido o desvio padrão populacional \,\sigma\, nem o desvio padrão da amostra s. Vou explicitar isso e tratar os dois casos (com \sigma conhecido e com \sigma desconhecido), porque para decidir precisamos dessa informação.

Passo 2

Escolha do tipo de teste (explicação didática e informal)
  • Um teste unilateral verifica só uma direção (por exemplo, se a média diminuiu: \mu<\mu_0 ou só se aumentou: \mu>\mu_0).
  • Um teste bilateral verifica se a média é diferente do alvo em qualquer direção ( \mu\neq\mu_0).
    Raciocínio aplicado aqui: tanto subencher (média menor que \,500\\ \text{g}\,) quanto sobreencher (média maior que \,500\\ \text{g}\,) são indesejáveis — um desperdício ou produto fora da especificação — logo precisamos detectar desvios em ambas as direções. Portanto escolhemos um teste bilateral.
    As hipóteses então são:
H_0:\\ \mu=500
H_1:\\ \mu\neq500
Explicando: \mu é a verdadeira média de massa dos pacotes; H_0 diz que a máquina continua regulada em 500\\ \text{g}; H_1 diz que houve mudança (para mais ou para menos).

Passo 3

Qual estatística usar e por quê (aula curta)
  • Se a distribuição é normal e o desvio padrão populacional \sigma for conhecido, usamos o teste-z com estatística
z \;=\; \frac{\bar{x}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}.
Aqui \bar{x} é a média da amostra, \mu_0=500 é a média sob H_0, \sigma é o desvio padrão populacional e n=16 é o tamanho da amostra. Rejeitamos H_0 para um teste bilateral de nível \alpha se
|z|>z_{\alpha/2},
onde z_{\alpha/2} é o quantil da distribuição normal padrão (por exemplo z_{0,025}=1,96 para \alpha=0,05).
  • Se \sigma for desconhecido e tivermos o desvio padrão amostral s, usamos o teste-t com estatística
t \;=\; \frac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}},
comparando com os quantis da t de Student com n-1 graus de liberdade. Como aqui não foi dado s, não podemos efetuar o teste-t numérico sem essa informação.

Passo 4

Expressar a decisão em função de \sigma (cálculo simbólico + números)
  • Primeiro calcule a diferença observada:
|\bar{x}-500| = |492-500| = 8\\ \text{g}.
  • Para o teste-z bilateral, a condição de rejeição |z|>z_{\alpha/2} equivale a:
8 > z_{\alpha/2}\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
Com \sqrt{n}=\sqrt{16}=4 isso fica
8 > z_{\alpha/2}\cdot\frac{\sigma}{4} \quad\Longleftrightarrow\quad \sigma < \frac{32}{z_{\alpha/2}}.
  • Agora valores práticos:
    • Para nível de significância \alpha=0{,}05 (teste bilateral clássico de 5%), temos z_{0,025}=1{,}96. Assim
    \sigma < \frac{32}{1{,}96} \approx 16{,}33\\ \text{g}.Ou seja, se o desvio padrão populacional \sigma for menor que aproximadamente 16{,}33\\ \text{g}, a média \bar{x}=492 é significativamente diferente de 500 ao nível 5\% e devemos rejeitar H_0 (parar e regular).
    • Se estivermos usando uma regra de controle tipo “3-sigma” (limites a \pm3 erros padrões, que é comum em cartas de controle), então a condição é \sigma < \frac{32}{3} \approx 10{,}67\\ \text{g}. Ou seja, com essa regra mais exigente, só pararia se \sigma fosse menor que cerca de 10{,}67\\ \text{g}.
  • Exemplos numéricos ilustrativos (para você sentir):
    • Se \sigma=12\\ \text{g}: z=(492-500)/(12/4) = -8/3 \approx -2{,}667. Como |z|>1{,}96, rejeita-se H_0 (parar).
    • Se \sigma=20\\ \text{g}: z=-8/(20/4)=-8/5=-1{,}6. Como |z|<1{,}96, não rejeita-se H_0 (não parar).
  • Se \sigma for desconhecido e você tiver somente \bar{x} (sem s), então não dá para concluir numericamente — você precisa do s da amostra ou de uma estimativa de \sigma a partir de histórico para aplicar o teste-t ou o teste-z.

Passo 5

Conclusão prática (como decidir na prova e na fábrica)
  • Na prova: escreva que usará teste bilateral com hipóteses H_0:\mu=500 e H_1:\mu\neq500. Escreva a estatística z (ou t se \sigma desconhecido) e a regra de rejeição em termos de z_{\alpha/2} (ou t_{n-1,\alpha/2}). Se souber \sigma, calcule z e compare; se só tiver s, calcule t e compare.
  • Na prática/fabrica: com \bar{x}=492 e n=16 a decisão depende do tamanho de \sigma. Ao nível \alpha=0{,}05 você para a produção para regular se \sigma<16{,}33\\ \text{g}. Se a política da fábrica for usar limites a \pm3 erros-padrão, então para parar precisa ter \sigma<10{,}67\\ \text{g}.
  • Frase de incentivo: não entre em pânico — o raciocínio é sempre o mesmo: pauta o teste, escreva a estatística e compare com o limite; se faltar \sigma ou s, peça esse valor (ou use histórico) e então decida.

Resposta

(a) Teste bilateral com hipóteses H_0:\\ \mu=500,\qquad H_1:\\ \mu\neq500.
(b) Com \bar{x}=492 e n=16 não é possível decidir sem conhecer \sigma (ou o s da amostra). Se \sigma for conhecido, então para um teste bilateral a 5\% rejeita-se H_0 (isto é, para-se a produção) quando \sigma<16{,}33\\ \text{g}; usando limites de tipo 3-sigma rejeita-se quando \sigma<10{,}67\\ \text{g}. Em exemplo concreto: se \sigma=12\\ \text{g} pare; se \sigma=20\\ \text{g} não pare.

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