1. 7 (M) Resolva:
\frac{d y}{d x}+y=e^{{-x}}.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{dy}{dx}+y=e^{-x}.
O que ele pede é encontrar a função y(x) que satisfaz essa igualdade para todo x (ou seja, a solução geral da equação). As informações relevantes são: a derivada \dfrac{dy}{dx}, o termo linear em y com coeficiente constante 1, e o termo conhecida no lado direito e^{-x}.

Passo 2

Vamos usar um método padrão para equações diferenciais de primeira ordem do tipo linear: equações da forma
\frac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x),
onde P(x) e Q(x) são funções conhecidas. A ideia é multiplicar a equação por um fator integrante \mu(x) tal que o lado esquerdo vire a derivada de um produto \mu(x)y.
O fator integrante é dado por
\mu(x)=e^{\int P(x)\,dx}.
Aqui temos P(x)=1, logo
\mu(x)=e^{\int 1\,dx}=e^{x}.

Passo 3

Multiplicamos a equação original por \mu(x)=e^{x}. Fazendo isso obtemos
e^{x}\frac{dy}{dx}+e^{x}y = e^{x}e^{-x}.
O lado esquerdo é justamente a derivada do produto e^{x}y, porque
\frac{d}{dx}\bigl(e^{x}y\bigr)=e^{x}\frac{dy}{dx}+e^{x}y.
O lado direito simplifica para 1. Então temos a equação simples
\frac{d}{dx}\bigl(e^{x}y\bigr)=1.

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
e^{x}y=\int 1\,dx = x + C,
onde C é a constante de integração (uma constante arbitrária, pois estamos buscando a solução geral).
Agora isolamos y:
y = e^{-x}(x + C) = x e^{-x} + C e^{-x}.
Essa é a solução geral da equação.

Passo 5

Para ter certeza de que tudo está certo, podemos verificar por substituição. Calculemos \dfrac{dy}{dx} para y(x)=x e^{-x}+C e^{-x}.
Usando a regra do produto:
\frac{d}{dx}\bigl(x e^{-x}\bigr)=1\cdot e^{-x}+x\cdot(-e^{-x})=e^{-x}-x e^{-x},
\frac{d}{dx}\bigl(C e^{-x}\bigr)=C\cdot(-e^{-x})=-C e^{-x}.
Somando,
\frac{dy}{dx}=e^{-x}-x e^{-x}-C e^{-x}=e^{-x}-(x+C)e^{-x}.
Como y=(x+C)e^{-x}, obtemos
\frac{dy}{dx}+y = \bigl(e^{-x}-(x+C)e^{-x}\bigr)+(x+C)e^{-x}=e^{-x},
que é exatamente o lado direito da equação original. Verificação concluída.

Resposta

y=e^{-x}(x+C)=x e^{-x}+C e^{-x}

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