- 7 (M) Resolva:
\frac{d y}{d x}+y=e^{{-x}}.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
O que ele pede é encontrar a função
que satisfaz essa igualdade para todo
(ou seja, a solução geral da equação). As informações relevantes são: a derivada
, o termo linear em
com coeficiente constante
, e o termo conhecida no lado direito
.
Passo 2
Vamos usar um método padrão para equações diferenciais de primeira ordem do tipo linear: equações da forma
onde
e
são funções conhecidas. A ideia é multiplicar a equação por um fator integrante
tal que o lado esquerdo vire a derivada de um produto
.
O fator integrante é dado por
Aqui temos
, logo
Passo 3
Multiplicamos a equação original por
. Fazendo isso obtemos
O lado esquerdo é justamente a derivada do produto
, porque
O lado direito simplifica para
. Então temos a equação simples
Passo 4
Integramos ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração (uma constante arbitrária, pois estamos buscando a solução geral).
Agora isolamos
:
Essa é a solução geral da equação.
Passo 5
Para ter certeza de que tudo está certo, podemos verificar por substituição. Calculemos
para
.
Usando a regra do produto:
Somando,
Como
, obtemos
que é exatamente o lado direito da equação original. Verificação concluída.