- 16 - Mostre que
é um espaço vetorial de dimensão infinita sobre
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que
, com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar em
, é um espaço vetorial de dimensão infinita. O conteúdo aqui envolve definições de espaço vetorial, dimensão, base e independência linear sobre um corpo (neste caso
). Para provar infinidade de dimensão, precisamos exibir conjuntos arbitrariamente grandes de vetores Q-linearmente independentes.
Passo 2
Primeiro vamos verificar rapidamente que
é, de fato, um espaço vetorial sobre
. As operações de soma e multiplicação por escalar em
satisfazem todos os axiomas de espaço vetorial (fechamento, associatividade, existência de elemento neutro e inverso para soma, existência de escalar
que age como identidade, distributividade etc.).
Em seguida, recordamos que a dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores em uma base máxima, ou seja, o menor número de vetores que geram o espaço de forma linearmente independente. Para provar que a dimensão é infinita, basta produzir conjuntos de vetores Q-linearmente independentes de tamanho arbitrário.
Em seguida, recordamos que a dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores em uma base máxima, ou seja, o menor número de vetores que geram o espaço de forma linearmente independente. Para provar que a dimensão é infinita, basta produzir conjuntos de vetores Q-linearmente independentes de tamanho arbitrário.
Passo 3
Escolhemos um número
que seja transcendental sobre
(por exemplo,
). Isso significa que não existe polinômio não nulo com coeficientes racionais cujo valor seja zero em
. Agora, para cada
, consideramos o conjunto
Passo 4
Precisamos mostrar que esse conjunto é Q-linearmente independente. Suponha que exista uma combinação linear nula:
com
. Isso significa que
Se nem todos os
são zero, então
seria um polinômio não nulo em
que tem
como raiz, o que contradiz a transcendência de
. Logo, todos os
devem ser zero, e o conjunto é linearmente independente.
Passo 5
Como podemos fazer isso para qualquer
, concluímos que existem conjuntos Q-linearmente independentes com cardinal arbitrariamente grande. Isso implica que não há uma base finita de
sobre
, ou seja, a dimensão é infinita.
Resposta
O espaço vetorial
sobre
possui dimensão infinita.