• 16 - Mostre que R é um espaço vetorial de dimensão infinita sobre Q.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que R, com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar em Q, é um espaço vetorial de dimensão infinita. O conteúdo aqui envolve definições de espaço vetorial, dimensão, base e independência linear sobre um corpo (neste caso Q). Para provar infinidade de dimensão, precisamos exibir conjuntos arbitrariamente grandes de vetores Q-linearmente independentes.

Passo 2

Primeiro vamos verificar rapidamente que R é, de fato, um espaço vetorial sobre Q. As operações de soma e multiplicação por escalar em R satisfazem todos os axiomas de espaço vetorial (fechamento, associatividade, existência de elemento neutro e inverso para soma, existência de escalar 1inQ que age como identidade, distributividade etc.).
Em seguida, recordamos que a dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores em uma base máxima, ou seja, o menor número de vetores que geram o espaço de forma linearmente independente. Para provar que a dimensão é infinita, basta produzir conjuntos de vetores Q-linearmente independentes de tamanho arbitrário.

Passo 3

Escolhemos um número tinR que seja transcendental sobre Q (por exemplo, t=pi). Isso significa que não existe polinômio não nulo com coeficientes racionais cujo valor seja zero em t. Agora, para cada n>=0, consideramos o conjunto
1,,t,,t^2,,dots,,t^nsubsetR

Passo 4

Precisamos mostrar que esse conjunto é Q-linearmente independente. Suponha que exista uma combinação linear nula:
sumk=0^n ak,t^k = 0,
com akinQ. Isso significa que
P(t) := a0 + a1 t + cdots + an t^n = 0
Se nem todos os ak são zero, então P seria um polinômio não nulo em Q[X] que tem t como raiz, o que contradiz a transcendência de t. Logo, todos os ak devem ser zero, e o conjunto é linearmente independente.

Passo 5

Como podemos fazer isso para qualquer n, concluímos que existem conjuntos Q-linearmente independentes com cardinal arbitrariamente grande. Isso implica que não há uma base finita de R sobre Q, ou seja, a dimensão é infinita.

Resposta

O espaço vetorial R sobre Q possui dimensão infinita.

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