Seja
o espaço vetorial das funções de
em
. Seja
o conjunto das funções constantes e
o conjunto das funções que se anulam em 0 .
a. Provar que
e
são subespaços vetoriais de E.
b. Provar que
e
são complementares em
.
a. Provar que
b. Provar que
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos duas coisas: (a) que os conjuntos F = {f : ℝ→ℝ | f é constante} e G = {g : ℝ→ℝ | g(0)=0} são subespaços de E (o espaço de todas as funções de ℝ em ℝ), e (b) que F e G são complementares em E, ou seja, E = F ⊕ G. Para isso precisamos usar as definições de subespaço vetorial (conter a função zero, fechar-se em soma e multiplicação escalar) e de soma direta (interseção trivial e soma que gera todo o espaço).
Passo 2
Mostramos que F é subespaço de E. Primeiro, a função zero (que manda todo x em 0) é constante, logo pertence a F. Depois, se f e f′ são constantes, digamos f(x)=c e f′(x)=c′, então (f+f′)(x)=c+c′ também é constante, e para escalar α temos (αf)(x)=αc constante. Assim F contém a zero, é fechado em soma e em multiplicação por escalar, logo é subespaço.
Passo 3
Mostramos que G é subespaço de E. A função zero satisfaz 0(0)=0, então 0∈G. Se g e g′ satisfazem g(0)=g′(0)=0, então (g+g′)(0)=0+0=0, e para qualquer escalar α temos (αg)(0)=α·0=0. Logo G também contém a zero e é fechado em soma e escalar, sendo subespaço.
Passo 4
Agora verificamos a interseção F∩G. Se h∈F∩G, então h é constante (h(x)=c ∀x) e h(0)=0, de onde c=0 e h é a função zero. Assim F∩G={0}.
Passo 5
Para mostrar que F+G=E, tomamos uma função arbitrária t∈E e decompomos em soma de um elemento de F e um de G. Definimos f(x)=t(0) (é constante, logo f∈F) e g(x)=t(x)−t(0). Note que g(0)=t(0)−t(0)=0, então g∈G, e claramente t=f+g. Isso mostra que todo t∈E escreve-se como soma de algo em F e algo em G.
Passo 6
Finalmente, a soma é direta porque a interseção é só {0}. Logo E=F⊕G, e concluímos que F e G são complementares em E.
Resposta
F e G são subespaços de E e satisfazem F∩G={0} e F+G=E, isto é, E=F⊕G.