Seja E o espaço vetorial das funções de R em R. Seja F o conjunto das funções pares et G o conjunto das funções impares.
a. Verificar que F e G são subespaços vetoriais de E.
b. Achar F cap G.
c. Para f in E, definimos forall x in R, g(x)=12(f(x)+f(-x)) e h(x)=12(f(x)-f(-x)). Verificar que g in F e h in G.
d. Provar que F e G são complementares em E.

Passo 1

A questão trata do espaço vetorial E das funções de ℝ em ℝ, com F o subconjunto das funções pares (f(−x)=f(x)) e G o das ímpares (f(−x)=−f(x)). Vamos usar a definição de subespaço vetorial, interseção de conjuntos e a decomposição de qualquer f em parte par e ímpar.

Passo 2

Para mostrar que F e G são subespaços de E, verificamos (1) a função zero 0(x)=0 pertence a F e a G, (2) se f e φ são pares então (f+φ)(−x)=f(−x)+φ(−x)=f(x)+φ(x) logo f+φ∈F, e para escalar α temos (αf)(−x)=αf(−x)=αf(x) logo αf∈F. Idem para G: se f e φ são ímpares então (f+φ)(−x)=−f(x)−φ(x)=−(f+φ)(x) e (αf)(−x)=α(f(−x))=α(−f(x))=−(αf)(x).

Passo 3

Para achar F∩G, tomamos f que é par e ímpar: f(−x)=f(x) e f(−x)=−f(x). Igualando, f(x)=−f(x) implica f(x)=0 ∀x, ou seja F∩G={0}.

Passo 4

Definimos para f∈E as funções g e h por g(x)=½(f(x)+f(−x)) e h(x)=½(f(x)−f(−x)). Então g(−x)=½(f(−x)+f(x))=g(x), logo g∈F. E h(−x)=½(f(−x)−f(x))=−½(f(x)−f(−x))=−h(x), logo h∈G.

Passo 5

Observe que para todo x vale g(x)+h(x)=f(x). Logo qualquer f∈E se decompõe como soma de um par e um ímpar. Como já vimos que F∩G={0}, concluímos que E=F⊕G, isto é, F e G são complementares em E.

Resposta

a) F e G são subespaços de E.
b) F ∩ G = {0}.
c) g∈F e h∈G.
d) E = F ⊕ G, ou seja, F e G são complementares em E.

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