(16 pontos) Se
(a) (2 pontos) Determine o domínio de
.
(b) ( 3 pontos) Determine os pontos críticos de
, caso existam.
(c) (3 pontos) Determine os intervalos onde
é crescente.
(d) (3 pontos) Determine os intervalos onde
onde
é decrescente.
(e) (7 pontos) Determine os extremos relativos de
.
(a) (2 pontos) Determine o domínio de
(b) ( 3 pontos) Determine os pontos críticos de
(c) (3 pontos) Determine os intervalos onde
(d) (3 pontos) Determine os intervalos onde
(e) (7 pontos) Determine os extremos relativos de
Passo 1
O enunciado apresenta a função
e pede: (a) domínio, (b) pontos críticos, (c) intervalos de crescimento, (d) intervalos de decrescimento e (e) extremos relativos. Vamos usar cálculo de derivada e análise de sinais para resolver.
Passo 2
Para determinar o domínio de
, note que
está definida para todo
. Logo,
Passo 3
Calculamos a derivada de
. Usando
, temos
Passo 4
Os pontos críticos são onde
ou
não está definida. Como
para todo
, só há solução de
Portanto, os pontos críticos são
e
.
Passo 5
Analisamos o sinal de
:
- O numerador
é positivo se e negativo se . - O denominador
é sempre positivo.
Logo
Passo 6
Da análise de sinal concluímos:
-
é crescente em . -
é decrescente em .
Passo 7
Para achar os extremos relativos, observamos as trocas de sinal de
:
- Em
, vai de positivo (à esquerda) para negativo (à direita) máximo relativo. - Em
, vai de negativo para positivo mínimo relativo.
Calculamos os valores:
Resposta
(a)
(b) Pontos críticos: e
.
(c) é crescente em
(d) é decrescente em
(e) Máximo relativo em com valor
; mínimo relativo em
com valor
.
(b) Pontos críticos:
(c)
(d)
(e) Máximo relativo em