(16 pontos) Se f(x)=x-2 arctan x
(a) (2 pontos) Determine o domínio de f.
(b) ( 3 pontos) Determine os pontos críticos de f, caso existam.
(c) (3 pontos) Determine os intervalos onde f é crescente.
(d) (3 pontos) Determine os intervalos onde f onde f é decrescente.
(e) (7 pontos) Determine os extremos relativos de f.

Passo 1

O enunciado apresenta a função
f(x)=x-2arctan x
e pede: (a) domínio, (b) pontos críticos, (c) intervalos de crescimento, (d) intervalos de decrescimento e (e) extremos relativos. Vamos usar cálculo de derivada e análise de sinais para resolver.

Passo 2

Para determinar o domínio de f, note que arctan x está definida para todo xinR. Logo,
Dom(f)=(-infty,infty)

Passo 3

Calculamos a derivada de f. Usando ddx(arctan x)=11+x^2, temos
f'(x)=1-2cdot11+x^2 ;=; (1+x^2)-21+x^2 ;=; x^2-11+x^2

Passo 4

Os pontos críticos são onde f'(x)=0 ou f' não está definida. Como 1+x^2>0 para todo x, só há solução de
x^2-1=0 ;Longrightarrow; x=pm1
Portanto, os pontos críticos são x=-1 e x=1.

Passo 5

Analisamos o sinal de f'(x)=x^2-11+x^2:
  • O numerador x^2-1 é positivo se |x|>1 e negativo se |x|<1.
  • O denominador (1+x^2) é sempre positivo.
    Logo
f'(x)>0se xin(-infty,-1)cup(1,infty),
f'(x)<0se xin(-1,1)

Passo 6

Da análise de sinal concluímos:
  • f é crescente em (-infty,-1)cup(1,infty).
  • f é decrescente em (-1,1).

Passo 7

Para achar os extremos relativos, observamos as trocas de sinal de f':
  • Em x=-1, f' vai de positivo (à esquerda) para negativo (à direita) Rightarrow máximo relativo.
  • Em x=1, f' vai de negativo para positivo Rightarrow mínimo relativo.
    Calculamos os valores:
f(-1)=-1-2arctan(-1)=-1+2cdotpi4=-1+pi2,
f(1)=1-2arctan(1)=1-2cdotpi4=1-pi2

Resposta

(a) Dom(f)=(-infty,infty)
(b) Pontos críticos: x=-1 e x=1.
(c) f é crescente em (-infty,-1)cup(1,infty)
(d) f é decrescente em (-1,1)
(e) Máximo relativo em x=-1 com valor f(-1)=-1+tfracpi2; mínimo relativo em x=1 com valor f(1)=1-tfracpi2.

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