(16 pontos) Quais das séries a seguir convergem e quais divergem? Justifique sua uma série for convergente, calcule sua soma.
\sum_{n=0}^{\infty} \sqrt{\frac{n+2}{n^{3}+4}}

Passo 1

Vou escrever claramente o que o enunciado dá e o que é pedido.
  • A série dada é
\sum_{n=0}^{\infty} \sqrt{\frac{n+2}{n^{3}+4}}.
  • O que se pede:
    • Determinar se a série converge ou diverge.
    • Se for convergente, calcular a soma (se possível).
  • Observações iniciais úteis:
    • O primeiro termo (quando n=0) é \sqrt{\dfrac{0+2}{0^{3}+4}}=\sqrt{\dfrac{2}{4}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}, ou seja, finito.
    • Para testar convergência de séries infinitas, o comportamento quando n\to\infty é o que importa; alterar ou remover um número finito de termos (por exemplo o termo n=0) não afeta a convergência/divergência.

Passo 2

Intuição e escolha do método.
  • Para séries com termos que envolvem potências de n, uma boa ideia é comparar com séries p-geométricas ou com a série harmônica. Aqui, para grandes n,
\frac{n+2}{n^{3}+4}\sim\frac{n}{n^{3}}=\frac{1}{n^{2}},
então
\sqrt{\frac{n+2}{n^{3}+4}}\sim\sqrt{\frac{1}{n^{2}}}=\frac{1}{n}.
  • Isso sugere comparar com a série harmônica \sum \dfrac{1}{n}, que é conhecida por divergir.
  • O teste apropriado e rigoroso para formalizar essa ideia é o teste de comparação por limite (limit comparison test). Vou usá-lo.
Explico rapidamente o teste (de forma didática):
  • Seja (a_n) e (b_n) sequências de termos positivos.
  • Se existir
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}
com 0<L<\infty, então as séries \sum a_n e \sum b_n têm o mesmo comportamento: ou ambas convergem ou ambas divergem.
  • Aqui escolhemos a_n=\sqrt{\dfrac{n+2}{n^{3}+4}} e b_n=\dfrac{1}{n} (para n\ge 1). Note que o possível problema no índice n=0 não altera a conclusão porque mudar um número finito de termos não afeta convergência.

Passo 3

Definição explícita das sequências e cálculo do limite para aplicar o teste.
  • Definir
a_n=\sqrt{\frac{n+2}{n^{3}+4}},\qquad b_n=\frac{1}{n}\quad (n\ge 1).
  • Calcular
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} =\lim_{n\to\infty} n\sqrt{\frac{n+2}{n^{3}+4}}.
Agora simplifico a expressão dentro do limite de forma organizada:
n\sqrt{\frac{n+2}{n^{3}+4}} = n\sqrt{\frac{n\left(1+\dfrac{2}{n}\right)}{n^{3}\left(1+\dfrac{4}{n^{3}}\right)}} = n\sqrt{\frac{1}{n^{2}}\cdot\frac{1+\dfrac{2}{n}}{1+\dfrac{4}{n^{3}}}}.
Continuando a simplificação:
n\sqrt{\frac{1}{n^{2}}\cdot\frac{1+\dfrac{2}{n}}{1+\dfrac{4}{n^{3}}}} = n\cdot\frac{1}{n}\cdot\sqrt{\frac{1+\dfrac{2}{n}}{1+\dfrac{4}{n^{3}}}} =\sqrt{\frac{1+\dfrac{2}{n}}{1+\dfrac{4}{n^{3}}}}.
Agora passo ao limite:
L=\lim_{n\to\infty}\sqrt{\frac{1+\dfrac{2}{n}}{1+\dfrac{4}{n^{3}}}} =\sqrt{\frac{1+0}{1+0}}=\sqrt{1}=1.
Portanto o limite L existe e é finito e positivo ( L=1).

Passo 4

Conclusão a partir do teste de comparação por limite e conhecimento da série comparadora.
  • Pelo teste de comparação por limite, como L=1\in(0,\infty), as séries \sum a_n e \sum b_n têm o mesmo comportamento quanto à convergência.
  • A série comparadora escolhida é \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n}, a série harmônica, que é conhecida por divergir.
  • Logo, a série \sum_{n=1}^{\infty} a_n (e portanto também \sum_{n=0}^{\infty} a_n, já que o termo n=0 é apenas um termo finito adicional) tem o mesmo comportamento da harmônica.

Passo 5

Observações finais e confirmação de que não é possível obter soma finita.
  • Como a série tem comportamento igual ao da série harmônica, não converge; em particular não existe soma finita a calcular.
  • Não há necessidade de testar mais condições: o limite obtido e a divergência da harmônica são suficientes.

Resposta

A série diverge.

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