(16 pontos) Quais das séries a seguir convergem e quais divergem? Justifique sua uma série for convergente, calcule sua soma. \sum_{n=0}^{\infty} \sqrt{\frac{n+2}{n^{3}+4}}
Passo 1
Vou escrever claramente o que o enunciado dá e o que é pedido.
A série dada é
\sum_{n=0}^{\infty} \sqrt{\frac{n+2}{n^{3}+4}}.
O que se pede:
Determinar se a série converge ou diverge.
Se for convergente, calcular a soma (se possível).
Observações iniciais úteis:
O primeiro termo (quando n=0) é \sqrt{\dfrac{0+2}{0^{3}+4}}=\sqrt{\dfrac{2}{4}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}, ou seja, finito.
Para testar convergência de séries infinitas, o comportamento quando n\to\infty é o que importa; alterar ou remover um número finito de termos (por exemplo o termo n=0) não afeta a convergência/divergência.
Passo 2
Intuição e escolha do método.
Para séries com termos que envolvem potências de n, uma boa ideia é comparar com séries p-geométricas ou com a série harmônica. Aqui, para grandes n,
Isso sugere comparar com a série harmônica \sum \dfrac{1}{n}, que é conhecida por divergir.
O teste apropriado e rigoroso para formalizar essa ideia é o teste de comparação por limite (limit comparison test). Vou usá-lo.
Explico rapidamente o teste (de forma didática):
Seja (a_n) e (b_n) sequências de termos positivos.
Se existir
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}
com 0<L<\infty, então as séries \sum a_n e \sum b_n têm o mesmo comportamento: ou ambas convergem ou ambas divergem.
Aqui escolhemos a_n=\sqrt{\dfrac{n+2}{n^{3}+4}} e b_n=\dfrac{1}{n} (para n\ge 1). Note que o possível problema no índice n=0 não altera a conclusão porque mudar um número finito de termos não afeta convergência.
Passo 3
Definição explícita das sequências e cálculo do limite para aplicar o teste.
Portanto o limite L existe e é finito e positivo (L=1).
Passo 4
Conclusão a partir do teste de comparação por limite e conhecimento da série comparadora.
Pelo teste de comparação por limite, como L=1\in(0,\infty), as séries \sum a_n e \sum b_n têm o mesmo comportamento quanto à convergência.
A série comparadora escolhida é \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n}, a série harmônica, que é conhecida por divergir.
Logo, a série \sum_{n=1}^{\infty} a_n (e portanto também \sum_{n=0}^{\infty} a_n, já que o termo n=0 é apenas um termo finito adicional) tem o mesmo comportamento da harmônica.
Passo 5
Observações finais e confirmação de que não é possível obter soma finita.
Como a série tem comportamento igual ao da série harmônica, não converge; em particular não existe soma finita a calcular.
Não há necessidade de testar mais condições: o limite obtido e a divergência da harmônica são suficientes.