16 - Produto de variáveis aleatórias independentes
Deixe
serem variáveis aleatórias independentes com funções de distribuição
e
.
a) Encontre a função de distribuição de XY.
b) Calcule a função de distribuição de XY se X e Y forem variáveis aleatórias independentes uniformemente distribuídas em
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a) Encontre a função de distribuição de XY.
b) Calcule a função de distribuição de XY se X e Y forem variáveis aleatórias independentes uniformemente distribuídas em
Passo 1
O enunciado pede a distribuição de Z=XY onde X e Y são independentes e positivas, ou seja, encontrar H(z)=P(XY≤z). Vamos usar conceitos de probabilidade condicional e distribuição acumulada de variáveis contínuas.
Passo 2
Como X e Y são independentes, podemos condicionar em Y:
Usando a propriedade P(XY≤z)=E[P(XY≤z|Y)] temos P(XY≤z)=∫P(X≤z/y) dG(y). Como P(X≤x)=F(x), para z>0 obtemos
Usando a propriedade P(XY≤z)=E[P(XY≤z|Y)] temos P(XY≤z)=∫P(X≤z/y) dG(y). Como P(X≤x)=F(x), para z>0 obtemos
Passo 3
Agora no caso especial X,Y~U(0,1), temos F(x)=x em [0,1], G(y)=y em [0,1] e densidade g(y)=1. Então
Passo 4
Dividimos a integral em y<z e y≥z (considerando 0<z<1). Para y<z temos F=1, para y≥z temos F=z/y. Assim
Passo 5
Para z≥1 observa-se que sempre z/y≥1 em [0,1], então H(z)=1. Para z≤0 teremos H(z)=0.
Chegamos, portanto, à distribuição de Z=XY para variáveis uniformes no intervalo [0,1].
Chegamos, portanto, à distribuição de Z=XY para variáveis uniformes no intervalo [0,1].
Resposta
a) Para z>0, a função de distribuição de Z=XY é
b) Se X e Y são independentes e uniformes em [0,1], então