16 - Produto de variáveis aleatórias independentes

Deixe X, Y>0 serem variáveis aleatórias independentes com funções de distribuição F e G.
a) Encontre a função de distribuição de XY.
b) Calcule a função de distribuição de XY se X e Y forem variáveis aleatórias independentes uniformemente distribuídas em [0,1].

Passo 1

O enunciado pede a distribuição de Z=XY onde X e Y são independentes e positivas, ou seja, encontrar H(z)=P(XY≤z). Vamos usar conceitos de probabilidade condicional e distribuição acumulada de variáveis contínuas.

Passo 2

Como X e Y são independentes, podemos condicionar em Y:
Usando a propriedade P(XY≤z)=E[P(XY≤z|Y)] temos P(XY≤z)=∫P(X≤z/y) dG(y). Como P(X≤x)=F(x), para z>0 obtemos
H(z)=integral0^inftyFl(tfraczyr),dG(y)

Passo 3

Agora no caso especial X,Y~U(0,1), temos F(x)=x em [0,1], G(y)=y em [0,1] e densidade g(y)=1. Então
H(z)=integral0^1Fl(tfraczyr),dy=integral0^1min1,tfraczy,dy

Passo 4

Dividimos a integral em y<z e y≥z (considerando 0<z<1). Para y<z temos F=1, para y≥z temos F=z/y. Assim
H(z)=integral0^z1,dy+integralz^1zy,dy = z + zl(ln1 - ln zr) = zl(1-ln zr)

Passo 5

Para z≥1 observa-se que sempre z/y≥1 em [0,1], então H(z)=1. Para z≤0 teremos H(z)=0.
Chegamos, portanto, à distribuição de Z=XY para variáveis uniformes no intervalo [0,1].

Resposta

a) Para z>0, a função de distribuição de Z=XY é
H(z)=integral0^inftyFl(tfraczyr),dG(y)
b) Se X e Y são independentes e uniformes em [0,1], então
H(z)= 0, & z<=0, z,l(1-ln zr), & 0=1

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