Suponha que X seja uma variável exponencialmente distribuída com densidade
f(x)=alpha e^-alpha x
e Y uma variável aleatória independente que tenha distribuição uniforme U(0,1). Encontre a densidade da soma Z=X+Y.

Passo 1

O enunciado pede a densidade de Z = X + Y, onde X ~ Exp(α) com f_X(x) = α e^{-α x} para x ≥ 0, e Y ~ U(0,1) independente. O conteúdo é soma de variáveis independentes usando convolução de densidades.

Passo 2

Para variáveis independentes X e Y, a densidade da soma Z = X + Y é dada por f_Z(z) = ∫ f_X(z - y) f_Y(y) dy, integrando sobre todo o suporte de Y.
Aqui f_X(x) = α e^{-α x} (x ≥ 0) e f_Y(y) = 1 (0 ≤ y ≤ 1). Como f_X(z - y) só vale quando z - y ≥ 0 ⇔ y ≤ z, a integral vira
fZ(z) = integral0^min(1,,z) α e^-α (z - y) ,dy = α e^-α z integral0^min(1,,z) e^α y ,dy

Passo 3

Calcule o integral interno:
integral0^u e^α y ,dy = e^α u - 1α, onde u = min(1, z). Agora basta considerar os casos em z para definir u e obter f_Z(z).

Resposta

A densidade de Z = X + Y é
Para z < 0:
fZ(z) = 0
Para 0 \le z \le 1:
fZ(z) = 1 - e^-α z
Para z > 1:
fZ(z) = (e^α - 1),e^-α z

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