Suponha que X seja uma variável exponencialmente distribuída com densidade
e Y uma variável aleatória independente que tenha distribuição uniforme
. Encontre a densidade da soma
.
Passo 1
O enunciado pede a densidade de Z = X + Y, onde X ~ Exp(α) com f_X(x) = α e^{-α x} para x ≥ 0, e Y ~ U(0,1) independente. O conteúdo é soma de variáveis independentes usando convolução de densidades.
Passo 2
Para variáveis independentes X e Y, a densidade da soma Z = X + Y é dada por f_Z(z) = ∫ f_X(z - y) f_Y(y) dy, integrando sobre todo o suporte de Y.
Aqui f_X(x) = α e^{-α x} (x ≥ 0) e f_Y(y) = 1 (0 ≤ y ≤ 1). Como f_X(z - y) só vale quando z - y ≥ 0 ⇔ y ≤ z, a integral vira
Aqui f_X(x) = α e^{-α x} (x ≥ 0) e f_Y(y) = 1 (0 ≤ y ≤ 1). Como f_X(z - y) só vale quando z - y ≥ 0 ⇔ y ≤ z, a integral vira
Passo 3
Calcule o integral interno:
Resposta
A densidade de Z = X + Y é
Para z < 0:
Para 0 \le z \le 1:
Para z > 1: