Seja X uma variável aleatória não negativa. Prove que
Observe que
Passo 1
O exercício pede para mostrar que, para uma variável aleatória não negativa
, vale
O conteúdo principal envolve uso do Teorema de Tonelli (ou Fubini) para mudar a ordem de integração e a interpretação de uma variável não negativa via indicadores.
Passo 2
Primeiro, escrevemos
como uma integral em
usando a função indicadora:
Aqui usamos que, para cada
, a área sob a curva de altura 1 no intervalo
é exatamente
.
Passo 3
Em seguida, inserimos essa representação dentro de
e aplicamos Tonelli para trocar a ordem das integrais:
Passo 4
Por fim, observamos que
Substituindo de volta, obtemos
que é exatamente o que queríamos provar.