Seja X uma variável aleatória não negativa. Prove que
E[X]=integral0^infty P(X(omega)>x) d x
Observe que
E[X] & =integralOmega X d P & =integralOmega integral0^infty 1(0, X(omega)](x) d x d P(omega)

Passo 1

O exercício pede para mostrar que, para uma variável aleatória não negativa X, vale
E[X]=integral0^inftyPl(X>xr),dx
O conteúdo principal envolve uso do Teorema de Tonelli (ou Fubini) para mudar a ordem de integração e a interpretação de uma variável não negativa via indicadores.

Passo 2

Primeiro, escrevemos X(omega) como uma integral em x usando a função indicadora:
X(omega)=integral0^infty1(0,X(omega)](x),dx
Aqui usamos que, para cada omega, a área sob a curva de altura 1 no intervalo (0,X(omega)] é exatamente X(omega).

Passo 3

Em seguida, inserimos essa representação dentro de E[X]=integralOmega X,dP e aplicamos Tonelli para trocar a ordem das integrais:
E[X]=integralOmegaintegral0^infty1(0,X(omega)](x),dx,dP(omega) =integral0^inftyintegralOmega1(0,X(omega)](x),dP(omega),dx

Passo 4

Por fim, observamos que
integralOmega1(0,X(omega)](x),dP(omega)=Pl(omega:X(omega)>xr)=Pl(X>xr)
Substituindo de volta, obtemos
E[X]=integral0^inftyPl(X>xr),dx,
que é exatamente o que queríamos provar.

Resposta

E[X]=integral0^inftyPl(X>xr),dx

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