Prove que, para qualquer variável aleatória Xea
, temos
Dica: Use o anterior.
Passo 1
Temos uma variável aleatória X e um número a>0. Queremos mostrar que
O conteúdo principal envolve trocar integral e esperança (Teorema de Fubini) e calcular a integral de um indicador.
Passo 2
Escrevemos a probabilidade como esperança de um indicador: para cada x,
Então
Pelo Teorema de Fubini (ou Tonelli), podemos trocar a ordem de integração se a integral da função não-negativa é finita:
Passo 3
Aplicando Fubini, obtemos
Agora focamos na integral interna.
Passo 4
Para um valor fixo X(\omega)=t, a função x\mapsto 1_{{x<t<x+a}} vale 1 exatamente quando x está em (t-a,t). Logo
Passo 5
Substituindo de volta em Fubini:
Isso prova o resultado desejado.
Resposta
a