Prove que, para qualquer variável aleatória Xea >0, temos
integralR P(x
Dica: Use o anterior.

Passo 1

Temos uma variável aleatória X e um número a>0. Queremos mostrar que
integral R P(x
O conteúdo principal envolve trocar integral e esperança (Teorema de Fubini) e calcular a integral de um indicador.

Passo 2

Escrevemos a probabilidade como esperança de um indicador: para cada x,
P(x
Então
integral RP(x
Pelo Teorema de Fubini (ou Tonelli), podemos trocar a ordem de integração se a integral da função não-negativa é finita:

Passo 3

Aplicando Fubini, obtemos
integral REl[1x
Agora focamos na integral interna.

Passo 4

Para um valor fixo X(\omega)=t, a função x\mapsto 1_{{x<t<x+a}} vale 1 exatamente quando x está em (t-a,t). Logo
integral R1x

Passo 5

Substituindo de volta em Fubini:
integral RP(x
Isso prova o resultado desejado.

Resposta

a

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