Seja
uma distribuição em
, então existe uma sequência de variáveis aleatórias independentes
com distribuição
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dado um função de distribuição F em ℝ, existe uma sequência de variáveis aleatórias X₁,X₂,… independentes, cada uma com distribuição F. O tema é construção de variáveis aleatórias por transformação inversa num espaço de probabilidade apropriado.
Passo 2
Vamos usar o espaço-probabilidade canônico ([0,1]^ℕ, 𝔹([0,1]^ℕ), λ^∞), onde λ^∞ é a medida produto de Lebesgue em cada cópia de [0,1]. Definimos as projeções Uₙ:(u₁,u₂,…)↦uₙ. Sabe-se que as Uₙ são independentes e cada Uₙ∼Uniforme(0,1).
Passo 3
Definimos a função quantil (transformação inversa) de F por
e então construímos Xₙ=F^{-1}(Uₙ) para cada n.
Passo 4
Para verificar que cada Xₙ tem distribuição F, calculemos para x∈ℝ:
já que Uₙ é uniforme em [0,1].
Passo 5
Como cada Xₙ é função mensurável de Uₙ e as Uₙ são independentes, segue que X₁,X₂,… são independentes. Portanto, obtivemos a sequência desejada.
Resposta
Uma construção explícita é tomar Uₙ independentes ∼Uniforme(0,1) e definir Xₙ=F^{-1}(Uₙ). Então Xₙ são independentes e têm função de distribuição F.