Seja F uma distribuição em R, então existe uma sequência de variáveis aleatórias independentes X1, ldots, Xn, ldots com distribuição F.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dado um função de distribuição F em ℝ, existe uma sequência de variáveis aleatórias X₁,X₂,… independentes, cada uma com distribuição F. O tema é construção de variáveis aleatórias por transformação inversa num espaço de probabilidade apropriado.

Passo 2

Vamos usar o espaço-probabilidade canônico ([0,1]^ℕ, 𝔹([0,1]^ℕ), λ^∞), onde λ^∞ é a medida produto de Lebesgue em cada cópia de [0,1]. Definimos as projeções Uₙ:(u₁,u₂,…)↦uₙ. Sabe-se que as Uₙ são independentes e cada Uₙ∼Uniforme(0,1).

Passo 3

Definimos a função quantil (transformação inversa) de F por
F^-1(u)=infx∈ℝ:F(x)>= u,
e então construímos Xₙ=F^{-1}(Uₙ) para cada n.

Passo 4

Para verificar que cada Xₙ tem distribuição F, calculemos para x∈ℝ:
P(Xₙ<= x)=Pl(F^-1(Uₙ)<= xr)=Pl(Uₙ<= F(x)r)=F(x),
já que Uₙ é uniforme em [0,1].

Passo 5

Como cada Xₙ é função mensurável de Uₙ e as Uₙ são independentes, segue que X₁,X₂,… são independentes. Portanto, obtivemos a sequência desejada.

Resposta

Uma construção explícita é tomar Uₙ independentes ∼Uniforme(0,1) e definir Xₙ=F^{-1}(Uₙ). Então Xₙ são independentes e têm função de distribuição F.

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