Escreva o conjuinto \Omega=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x^{2}+y^{2}+(z-1)^{2} \leq 1\right\} em coordenadas esféricas e calcule \iiint_{\Omega} z d V.

Passo 1

O enunciado define
\Omega=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 : x^2 + y^2 + (z-1)^2 \le 1\}
e pede o cálculo de
\iiint_{\Omega} z\,dV
Usamos o fato de que \Omega é a esfera de raio 1 centrada em (0,0,1). Para simplificar, faremos a troca de variável w = z - 1, de modo que a esfera fica centrada na origem em (x,y,w).

Passo 2

Em coordenadas esféricas centradas na origem (x,y,w) definimos
x = \rho\sin\varphi\cos\theta,\qquad y = \rho\sin\varphi\sin\theta,\qquad w = \rho\cos\varphi
com
0 \le \rho \le 1,\quad 0 \le \varphi \le \pi,\quad 0 \le \theta \le 2\pi.
Nesse sistema, o jacobiano é dV = \rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.

Passo 3

Voltando a z, temos
z = w + 1 = \rho\cos\varphi + 1.
Então a integral vira
\iiint_{\Omega} z\,dV = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\pi}\!\int_{0}^{1} (\rho\cos\varphi + 1)\,\rho^2\sin\varphi \,d\rho\,d\varphi\,d\theta.

Passo 4

Calculemos primeiro a integral em \rho:
\int_{0}^{1}(\rho\cos\varphi + 1)\,\rho^2 \,d\rho = \cos\varphi\,\int_{0}^{1}\rho^3\,d\rho \;+\;\int_{0}^{1}\rho^2\,d\rho = \frac{\cos\varphi}{4} + \frac{1}{3}.

Passo 5

Agora a integral em \varphi e \theta:
\int_{0}^{2\pi}d\theta \int_{0}^{\pi}\Bigl(\tfrac{\cos\varphi}{4}+\tfrac{1}{3}\Bigr)\sin\varphi\,d\varphi = 2\pi\Bigl[ \tfrac{1}{4}\int_{0}^{\pi}\cos\varphi\sin\varphi\,d\varphi +\tfrac{1}{3}\int_{0}^{\pi}\sin\varphi\,d\varphi \Bigr].
Observamos que
\int_{0}^{\pi}\cos\varphi\sin\varphi\,d\varphi = 0, \quad \int_{0}^{\pi}\sin\varphi\,d\varphi = 2,
logo o resultado final é
2\pi\Bigl(0 + \tfrac{1}{3}\cdot 2\Bigr) = \frac{4\pi}{3}.

Resposta

\iiint_{\Omega} z\,dV = \frac{4\pi}{3}.

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