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(Requer Cálculo) Mostre que os seguintes conjuntos de funçōes são subespaços de
.
(a) Todas as funçōes contínuas
.
(Requer Cálculo) Mostre que os seguintes conjuntos de funçōes são subespaços de
(a) Todas as funçōes contínuas
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o conjunto
é um subespaço do espaço vetorial
de todas as funções reais em
. Para isso vamos usar o critério de subespaço: (i) o conjunto não é vazio, (ii) é fechado sob soma e (iii) é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro mostramos que
não é vazio. Basta exibir um elemento dele. A função nula
é contínua em toda reta, logo
. Portanto o conjunto é não vazio.
Passo 3
Agora verificamos a fechadura sob adição. Sejam
e
dois elementos de
. Então
e
são contínuas em
. Pela propriedade bem-conhecida da continuidade, a soma
é também contínua em cada ponto de
. Logo
.
Passo 4
Em seguida checamos a fechadura sob multiplicação escalar. Tomemos um escalar
e uma função contínua
. A função
é contínua sempre que
é contínua, pois a multiplicação por constante preserva continuidade. Então
.
Passo 5
Como
é não vazio, fecha-se sob soma e fecha-se sob multiplicação por escalar, concluímos que é um subespaço de
.
Resposta
O conjunto de todas as funções contínuas em
é subespaço de
.