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(Requer Cálculo) Mostre que os seguintes conjuntos de funçōes são subespaços de F(-infty, infty).
(a) Todas as funçōes contínuas em(-infty, infty).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o conjunto
C(-infty,infty)=,fcolon(-infty,infty)toRmid f é contínua éí
é um subespaço do espaço vetorial F(-infty,infty) de todas as funções reais em (-infty,infty). Para isso vamos usar o critério de subespaço: (i) o conjunto não é vazio, (ii) é fechado sob soma e (iii) é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro mostramos que C(-infty,infty) não é vazio. Basta exibir um elemento dele. A função nula
f0(x)=0, xin(-infty,infty),
é contínua em toda reta, logo f0in C(-infty,infty). Portanto o conjunto é não vazio.

Passo 3

Agora verificamos a fechadura sob adição. Sejam f e g dois elementos de C(-infty,infty). Então f e g são contínuas em (-infty,infty). Pela propriedade bem-conhecida da continuidade, a soma
(f+g)(x)=f(x)+g(x)
é também contínua em cada ponto de (-infty,infty). Logo f+gin C(-infty,infty).

Passo 4

Em seguida checamos a fechadura sob multiplicação escalar. Tomemos um escalar alphainR e uma função contínua fin C(-infty,infty). A função
(alpha f)(x)=alpha,[f(x)]
é contínua sempre que f é contínua, pois a multiplicação por constante preserva continuidade. Então alpha fin C(-infty,infty).

Passo 5

Como C(-infty,infty) é não vazio, fecha-se sob soma e fecha-se sob multiplicação por escalar, concluímos que é um subespaço de F(-infty,infty).

Resposta

O conjunto de todas as funções contínuas em (-infty,infty) é subespaço de F(-infty,infty).

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