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Quais dos seguintes são subespaços de F(-infty, infty) ?
(a) Todas as funçōes f em F(-infty, infty) tais que f(0)=0.

Passo 1

O enunciado considera o espaço vetorial ,F(-infty,infty) de todas as funções fcolonRto F. Queremos verificar se o subconjunto
S = ,fin F(-infty,infty)mid f(0)=0
é subespaço de F(-infty,infty). Para isso, vamos usar o teste de subespaço: S deve ser não vazio e fechado sob soma e multiplicação escalar.

Passo 2

Mostramos que S não é vazio, pois a função zero
f0(x)=0para todo x
satisfaz f0(0)=0. Logo, f0in S.

Passo 3

Verificamos o fechamento sob soma e escalar. Se f,gin S, então
(f+g)(0)=f(0)+g(0)=0+0=0,
logo f+gin S. Para qualquer escalar cin F e fin S,
(c,f)(0)=ccdot f(0)=ccdot 0=0,
logo c,fin S.

Resposta

O conjunto fin F(-infty,infty)mid f(0)=0 é um subespaço de F(-infty,infty).

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