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Quais dos seguintes são subespaços de
?
(a) Todas as sequências
da forma
.
Quais dos seguintes são subespaços de
(a) Todas as sequências
Passo 1
O enunciado considera o espaço vetorial
das sequências reais e define o conjunto
Para verificar se
é subespaço de
, vamos usar o critério de subespaço que exige:
-
não é vazio e contém o vetor zero. -
é fechado sob soma. -
é fechado sob multiplicação escalar.
Passo 2
Verificamos a presença do vetor zero. Tomando
em
obtemos a sequência
, que é o vetor zero de
. Logo,
contém o vetor zero.
Passo 3
Sejam
e
em
. Então
Como
, segue que
. Portanto,
é fechado sob soma.
Passo 4
Seja
e
. Então
Como
, temos
. Assim,
é fechado sob multiplicação escalar.
Resposta
O conjunto
é um subespaço de
.