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Quais dos seguintes são subespaços de R^* ?
(a) Todas as sequências v cm R^* da forma v=(v, 0, v, 0, v, 0, ldots).

Passo 1

O enunciado considera o espaço vetorial R^* das sequências reais e define o conjunto
S = (a,0,a,0,a,0,dots)mid ainR
Para verificar se S é subespaço de R^*, vamos usar o critério de subespaço que exige:
  1. S não é vazio e contém o vetor zero.
  2. S é fechado sob soma.
  3. S é fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificamos a presença do vetor zero. Tomando a=0 em
(a,0,a,0,dots) in S,
obtemos a sequência (0,0,0,0,dots), que é o vetor zero de R^*. Logo, S contém o vetor zero.

Passo 3

Sejam v=(a,0,a,0,dots) e w=(b,0,b,0,dots) em S. Então
v+w = (a+b,,0,,a+b,,0,dots)
Como a+binR, segue que v+win S. Portanto, S é fechado sob soma.

Passo 4

Seja cinR e v=(a,0,a,0,dots)in S. Então
c,v = (c,a,,0,,c,a,,0,dots)
Como c,ainR, temos c,vin S. Assim, S é fechado sob multiplicação escalar.

Resposta

O conjunto S é um subespaço de R^*.

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