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Uma reta L pela origem em R^3 pode ser representada por equaçōes paramétricas da forma x=a t, y=b r e z=c r. Use essas equaçōes para mostrar que L é um subespaço de R^3, mostrando que se v1=(x1, y1, z1) e v2=(x2, y2, z2) forem pontos em L e k for um número real qualquer, então k v1 e v1+v2 também são pontos em L.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a reta
L=(x,y,z)inR^3 mid x = a,t,;y = b,t,;z = c,t,;tinR
é um subespaço de R^3. Para isso basta provar que, dados v1,v2in L e kinR, temos kv1in L e v1+v2in L.

Passo 2

Como v1=(x1,y1,z1)in L, existe t1inR tal que
x1 = a,t1, y1 = b,t1, z1 = c,t1
Analogamente, para v2=(x2,y2,z2)in L existe t2inR com
x2 = a,t2, y2 = b,t2, z2 = c,t2
Portanto
v1 = t1,(a,b,c), v2 = t2,(a,b,c)

Passo 3

Para o escalar kv1 temos
kv1 = k,t1,(a,b,c) = l(a,(k,t1),,b,(k,t1),,c,(k,t1)r)
Isso é da forma (a,t',,b,t',,c,t') com t' = k,t1, logo kv1in L.

Passo 4

Para a soma v1+v2 escrevemos
v1+v2 = t1,(a,b,c) + t2,(a,b,c) = (t1+t2),(a,b,c) = l(a,(t1+t2),,b,(t1+t2),,c,(t1+t2)r)
Isto é da forma (a,t'',,b,t'',,c,t'') com t'' = t1+t2, logo v1+v2in L.

Passo 5

Note que para t=0 temos (0,0,0)in L, ou seja, o vetor nulo pertence a L. Como L contém o vetor zero e é fechado sob soma e multiplicação escalar, concluímos que L é subespaço de R^3.

Resposta

L é subespaço de R^3 porque satisfaz as propriedades de fechamento em soma e multiplicação escalar.

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