17 Mostre que se a matriz A é normal e não singular então A^-1 também é normal.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se uma matriz A é normal (isto é, AA^*=A^*A) e não singular (invertível), então a sua inversa A^-1 também é normal.

Passo 2

Lembrando que uma matriz M é normal se ela comuta com o seu adjunto, ou seja, se MM^*=M^*M. No nosso caso, temos por hipótese:
A A^* = A^* A
Como A é invertível, o adjunto A^* também é invertível e vale a propriedade:
(A^-1)^* = (A^*)^-1

Passo 3

Agora calculamos os produtos que definem a normalidade de A^-1:
A^-1(A^-1)^* = A^-1(A^*)^-1,
(A^-1)^*A^-1 = (A^*)^-1A^-1

Passo 4

Usando a hipótese de normalidade de A, temos AA^*=A^*A. Invertendo essa igualdade (lembrando que (XY)^-1=Y^-1X^-1), obtemos:
$$(AA*){-1} = (A*A){-1} \
(A*){-1}A^{-1} = A{-1}(A)^{-1}. (AA^*)^-1 = (A^*A)^-1 (A^*)^-1A^-1 = A^-1(A^*)^-1A{-1}(A{-1})^ = (A{-1})*A^{-1},$$
ou seja, A^-1(A^-1)^* = (A^-1)^*A^-1, comuta com o seu adjunto.

Passo 5

Portanto, concluímos que A^-1 satisfaz a definição de matriz normal e, logo, é de fato normal.

Resposta

Como mostramos que
A^-1(A^-1)^* = (A^-1)^*A^-1,
segue-se que A^-1 é normal.

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