17 Mostre que se a matriz
é normal e não singular então
também é normal.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se uma matriz
é normal (isto é,
) e não singular (invertível), então a sua inversa
também é normal.
Passo 2
Lembrando que uma matriz
é normal se ela comuta com o seu adjunto, ou seja, se
. No nosso caso, temos por hipótese:
Como
Passo 3
Agora calculamos os produtos que definem a normalidade de
:
Passo 4
Usando a hipótese de normalidade de
, temos
. Invertendo essa igualdade (lembrando que
), obtemos:
$$(AA*){-1} = (A*A){-1} \
(A*){-1}A^{-1} = A{-1}(A)^{-1}.
A{-1}(A{-1})^ = (A{-1})*A^{-1},$$
ou seja,
comuta com o seu adjunto.
Passo 5
Portanto, concluímos que
satisfaz a definição de matriz normal e, logo, é de fato normal.
Resposta
Como mostramos que
segue-se que