Ache uma base e a dimensão do espaço de soluções de cada um dos sistemas lineares abaixo em R^n :
c-x1+x2-x3+x4-x5+x6=0 2 x1+3 x2+x3+2 x4+x5-x6=0 (n=6) 3 x1+x2-x3+x4-x5+2 x6=0

Passo 1

O sistema homogêneo dado é um conjunto de 3 equações lineares em 6 incógnitas em R^6. Vamos usar eliminação de Gauss para encontrar a forma reduzida, identificar as variáveis livres e pivôs, e assim parametrizar o espaço solução.

Passo 2

Escrevemos a matriz de coeficientes e aplicamos operações de linha para chegar à forma escalonada reduzida. Primeiro
[
-1 & 1 & -1 & 1 & -1 & 1 2 & 3 & 1 & 2 & 1 & -1 3 & 1 & -1 & 1 & -1 & 2
\stackrel{R_1\to -R_1}{\longrightarrow}
1 & -1 & 1 & -1 & 1 & -1 2 & 3 & 1 & 2 & 1 & -1 3 & 1 & -1 & 1 & -1 & 2
\stackrel{R_2\to R_2-2R_1,;R_3\to R_3-3R_1}{\longrightarrow}
1 & -1 & 1 & -1 & 1 & -1 0 & 5 & -1 & 4 & -1 & 1 0 & 4 & -4 & 4 & -4 & 5 .
Em seguida dividimos R2 por 5, eliminamos as entradas acima e abaixo do pivô de R2, normalizamos R3 e eliminamos para obter a forma reduzida:
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & tfrac14 0 & 1 & 0 & tfrac34 & 0 & -tfrac116 0 & 0 & 1 & -tfrac14 & 1 & -tfrac2116

Passo 3

Dessa forma os pivôs estão nas colunas 1, 2 e 3 (variáveis x1,x2,x3), e as colunas 4, 5 e 6 são livres (variáveis x4,x5,x6). Das linhas reduzidas obtemos
x1,x2,x3
Expressando x4=x4,;x5=x5,;x6=x6 em função de (x1,dots,x6) = x4,(0,-tfrac34,tfrac14,1,0,0) + x5,(0,0,-1,0,1,0) + x6,(-tfrac14,tfrac116,tfrac2116,0,0,1) (livres) obtemos o vetor solução

Passo 4

Portanto o espaço das soluções é gerado por esses 3 vetores independentes.

Resposta

Uma base do espaço solução é
l (0,-tfrac34,tfrac14,1,0,0),;(0,0,-1,0,1,0),;(-tfrac14,tfrac116,tfrac2116,0,0,1) r,
e a dimensão desse espaço é 3.

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