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Sejam
e
conjuntos e
uma função. Sejam também
e
. Mostre que:
(a)
Sejam
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão que é sobre funções e conjuntos. A gente precisa mostrar que a imagem da união de dois conjuntos
e
através da função
é igual à união das imagens de cada conjunto individualmente. Em termos matemáticos, queremos provar que:
Para isso, vamos precisar entender o que significa a imagem de um conjunto por uma função e como funcionam as operações com conjuntos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é
. A imagem de
pela função
é o conjunto de todos os elementos de
que são imagens de pelo menos um elemento em
. Em outras palavras:
Isso significa que para cada
que está em
ou em
, a imagem
estará em
.
Passo 3
Agora, vamos analisar
. Aqui, primeiro obtemos as imagens de cada conjunto separadamente:
E então fazemos a união desses dois conjuntos de imagens:
Isso engloba todas as imagens de
e todas as imagens de
.
Passo 4
Para provar que os dois lados são iguais, vamos mostrar que cada lado está contido no outro.
Primeiro, vamos mostrar que:
Seja
. Então, existe algum
tal que
. Isso significa que
está em
ou em
. Se
, então
. Se
, então
. Logo,
está em
.
Agora, vamos mostrar que:
Seja
. Então,
está em
ou em
. Se
, existe algum
tal que
. Como
, então
, o que implica que
. O mesmo vale se
.
Resposta
Portanto, mostramos que:
Isso confirma que a imagem da união é igual à união das imagens.