16
Sejam X e Y conjuntos e f: X -> Y uma função. Sejam também A1, A2 subseteq X e B1, B2 ⊆ Y. Mostre que:
(a) f[A1 união A2] = f[A1] união f[A2]

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão que é sobre funções e conjuntos. A gente precisa mostrar que a imagem da união de dois conjuntos e através da função é igual à união das imagens de cada conjunto individualmente. Em termos matemáticos, queremos provar que:
Para isso, vamos precisar entender o que significa a imagem de um conjunto por uma função e como funcionam as operações com conjuntos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é . A imagem de pela função é o conjunto de todos os elementos de que são imagens de pelo menos um elemento em . Em outras palavras:
Isso significa que para cada que está em ou em , a imagem estará em .

Passo 3

Agora, vamos analisar . Aqui, primeiro obtemos as imagens de cada conjunto separadamente:
E então fazemos a união desses dois conjuntos de imagens:
Isso engloba todas as imagens de e todas as imagens de .

Passo 4

Para provar que os dois lados são iguais, vamos mostrar que cada lado está contido no outro.
Primeiro, vamos mostrar que:
Seja . Então, existe algum tal que . Isso significa que está em ou em . Se , então . Se , então . Logo, está em .
Agora, vamos mostrar que:
Seja . Então, está em ou em . Se , existe algum tal que . Como , então , o que implica que . O mesmo vale se .

Resposta

Portanto, mostramos que:
Isso confirma que a imagem da união é igual à união das imagens.

Exercícios relacionados