Seja n(t) a população de uma cidade no instante t (em anos) e n(0) = n_0. Sabendo que a população dobra em t = 50 anos, em quantos anos será ela o triplo, admitindo que a taxa de crescimento é proporcional ao número de habitantes?
Tabela: ln 2 = 0,693, ln 3 = 1,098

Passo 1

Então, a gente tem um problema sobre crescimento populacional. A população de uma cidade está crescendo de forma que a taxa de crescimento é proporcional ao número de habitantes atuais, ou seja, está seguindo um crescimento exponencial. Sabemos que a população dobra em 50 anos e queremos descobrir em quantos anos ela vai triplicar. Para resolver isso, vamos precisar usar as fórmulas do crescimento exponencial e os valores dos logaritmos que a tabela nos deu.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona o crescimento exponencial. Se a taxa de crescimento é proporcional ao número de habitantes, a equação que descreve isso é:
Aqui, é a população no tempo e é a constante de proporcionalidade que a gente precisa encontrar.

Passo 3

Resolver essa equação diferencial nos dá a fórmula da população ao longo do tempo:
Onde:
  • é a população inicial (no tempo ),
  • é a base do logaritmo natural,
  • é a constante de crescimento.

Passo 4

A gente sabe que a população dobra em 50 anos, ou seja, quando :
Podemos cancelar dos dois lados:

Passo 5

Para encontrar , vamos usar o logaritmo natural:
Isolando :
Substituindo o valor de da tabela:

Passo 6

Agora, queremos descobrir quanto tempo levará para a população triplicar. Então, quando :
Cancelando :

Passo 7

Mais uma vez, aplicamos o logaritmo natural para resolver para :
Isolando :
Substituindo os valores:

Resposta

A população triplicará em aproximadamente 79 anos.

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