Seja
a população de uma cidade no instante
(em anos) e
. Sabendo que a população dobra em
anos, em quantos anos será ela o triplo, admitindo que a taxa de crescimento é proporcional ao número de habitantes?
Tabela:
Tabela:
Passo 1
Então, a gente tem um problema sobre crescimento populacional. A população de uma cidade está crescendo de forma que a taxa de crescimento é proporcional ao número de habitantes atuais, ou seja, está seguindo um crescimento exponencial. Sabemos que a população dobra em 50 anos e queremos descobrir em quantos anos ela vai triplicar. Para resolver isso, vamos precisar usar as fórmulas do crescimento exponencial e os valores dos logaritmos que a tabela nos deu.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona o crescimento exponencial. Se a taxa de crescimento é proporcional ao número de habitantes, a equação que descreve isso é:
Aqui,
é a população no tempo
e
é a constante de proporcionalidade que a gente precisa encontrar.
Passo 3
Resolver essa equação diferencial nos dá a fórmula da população ao longo do tempo:
Onde:
-
é a população inicial (no tempo ), -
é a base do logaritmo natural, -
é a constante de crescimento.
Passo 4
A gente sabe que a população dobra em 50 anos, ou seja, quando
:
Podemos cancelar
dos dois lados:
Passo 5
Para encontrar
, vamos usar o logaritmo natural:
Isolando
:
Substituindo o valor de
da tabela:
Passo 6
Agora, queremos descobrir quanto tempo levará para a população triplicar. Então, quando
:
Cancelando
:
Passo 7
Mais uma vez, aplicamos o logaritmo natural para resolver para
:
Isolando
:
Substituindo os valores:
Resposta
A população triplicará em aproximadamente 79 anos.