Verifique se a função dada por f(x, y) = cos(x^2 + y^2) é diferenciável no ponto (0,0). Justifique a sua resposta.

Passo 1

Vamos verificar se a função é diferenciável no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente sobre diferenciabilidade de funções de duas variáveis. Precisaremos entender sobre derivadas parciais e o que significa uma função ser diferenciável em um ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e . As derivadas parciais nos dizem como a função muda quando variamos uma das variáveis, mantendo a outra constante.
Para :

Passo 3

Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto :
Portanto, as derivadas parciais no ponto são iguais a zero.

Passo 4

Para a função ser diferenciável no ponto , além das derivadas parciais existirem, a função deve ser bem aproximada por sua aproximação linear nesse ponto. Ou seja, devemos verificar se:
Substituindo os valores que já encontramos:

Passo 5

Vamos analisar o limite acima. Sabemos que para pequenos valores de , . Aplicando isso:
Então:
Quando , , então o limite é zero.

Passo 6

Como o limite é zero, isso significa que a função é bem aproximada por sua aproximação linear no ponto . Portanto, a função é diferenciável nesse ponto.

Resposta

A função é diferenciável no ponto .

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