Verifique se a função dada por
é diferenciável no ponto
. Justifique a sua resposta.
Passo 1
Vamos verificar se a função
é diferenciável no ponto
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente sobre diferenciabilidade de funções de duas variáveis. Precisaremos entender sobre derivadas parciais e o que significa uma função ser diferenciável em um ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
. As derivadas parciais nos dizem como a função muda quando variamos uma das variáveis, mantendo a outra constante.
Para
:
Passo 3
Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto
:
Portanto, as derivadas parciais no ponto
são iguais a zero.
Passo 4
Para a função ser diferenciável no ponto
, além das derivadas parciais existirem, a função deve ser bem aproximada por sua aproximação linear nesse ponto. Ou seja, devemos verificar se:
Substituindo os valores que já encontramos:
Passo 5
Vamos analisar o limite acima. Sabemos que para pequenos valores de
,
. Aplicando isso:
Então:
Quando
,
, então o limite é zero.
Passo 6
Como o limite é zero, isso significa que a função
é bem aproximada por sua aproximação linear no ponto
. Portanto, a função é diferenciável nesse ponto.
Resposta
A função
é diferenciável no ponto
.