Encontre todas as possíveis formas canônicas de Jordan para as matrizes cujos polinômios característico e mínimo são dados abaixo:
p(t)=(t-2)^4(t-3)^2, m(t)=(t-2)^2(t-3)^2.

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente precisa encontrar todas as formas canônicas de Jordan de uma matriz cujo polinômio característico é p(t)=(t-2)^4(t-3)^2 e cujo polinômio mínimo é m(t)=(t-2)^2(t-3)^2. O conteúdo é a teoria de blocos de Jordan e a relação entre os expoentes dos polinômios característico e mínimo.

Passo 2

A teoria diz que para cada autovalor lambda, a multiplicidade algébrica (expoente em p(t)) indica a soma dos tamanhos dos blocos de Jordan para lambda, e o expoente em m(t) indica o tamanho do maior bloco. Assim, para lambda=2 temos multiplicidade 4 e maior bloco de tamanho 2; para lambda=3 temos multiplicidade 2 e maior bloco de tamanho 2.

Passo 3

Para lambda=2, devemos particionar 4 em blocos de tamanho 1 ou 2, garantindo pelo menos um bloco de tamanho 2. As partições possíveis são [2,2] e [2,1,1].

Passo 4

Para lambda=3, devemos particionar 2 em blocos de tamanho ≤2, com pelo menos um bloco de tamanho 2. A única partição é [2].

Passo 5

Juntando os blocos para cada autovalor, obtemos duas formas canônicas de Jordan: uma com blocos J2(2),J2(2) e J2(3), e outra com blocos J2(2),J1(2),J1(2) e J2(3).

Resposta

As formas de Jordan são diag(J2(2),J2(2),J2(3)) e diag(J2(2),J1(2),J1(2),J2(3)).

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