Calcular $ \int_{C} \vec{F}$.d $ \vec{r}$ :
e
é o circulo de centro
e de raio
percorrido no sentido horario.
Passo 1
Inicialmente vamos entender o que se pede: calcular a integral de linha
, onde
e
é o círculo de centro
, raio
, percorrido no sentido horário. O conteúdo envolve integrais de linha em campo vetorial e a ideia de campo conservativo.
Passo 2
A próxima coisa é verificar se
é conservativo. Escrevemos
com
e
. Em um domínio simplesmente conexo (como todo
), um campo é conservativo se satisfaz
.
Passo 3
Calculemos as derivadas parciais: temos
e
. Como elas coincidem,
é conservativo em todo
.
Passo 4
Para um campo conservativo, a integral de linha entre pontos depende apenas dos pontos iniciais e finais. No caso de uma curva fechada, o ponto final é o mesmo que o inicial, logo a integral fechada é zero, independentemente da orientação do percurso.
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