3.17 Seja
,
. Calcule para que valores de
é positivo.
Passo 1
Resumo do problema e conteúdo: temos a função f(x,y)=x²−y² e a direção v(t)=(cos t, sen t). Queremos a derivada direcional de f em (0,0) ao longo de v(t), que se calcula via o gradiente: D_{v(t)}f(0,0)=∇f(0,0)·v(t).
Cálculo do gradiente de f: as derivadas parciais são ∂f/∂x=2x e ∂f/∂y=−2y. Assim,
Cálculo do gradiente de f: as derivadas parciais são ∂f/∂x=2x e ∂f/∂y=−2y. Assim,
Passo 2
e em (0,0)
Passo 3
Avaliação da derivada direcional: basta fazer o produto escalar
Passo 4
que é zero para todo t, ou seja, nunca é positivo.
Resposta
Não existe valor de t em que D_{v(t)}f(0,0) seja positivo.