3.17 Seja f(x, y)=x^2-y^2 e v(t)=(cos (t), sen(t)). Calcule para que valores de t, Dv(t) f(0,0) é positivo.

Passo 1

Resumo do problema e conteúdo: temos a função f(x,y)=x²−y² e a direção v(t)=(cos t, sen t). Queremos a derivada direcional de f em (0,0) ao longo de v(t), que se calcula via o gradiente: D_{v(t)}f(0,0)=∇f(0,0)·v(t).
Cálculo do gradiente de f: as derivadas parciais são ∂f/∂x=2x e ∂f/∂y=−2y. Assim,
∇f(x,y)=(2x,,-2y)

Passo 2

e em (0,0)
∇f(0,0)=(0,0)

Passo 3

Avaliação da derivada direcional: basta fazer o produto escalar
Dv(t)f(0,0)=∇f(0,0)·v(t)= (0,0)·(cos t,,sin t)=0

Passo 4

que é zero para todo t, ou seja, nunca é positivo.

Resposta

Não existe valor de t em que D_{v(t)}f(0,0) seja positivo.

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