16)(3 x+1)^{2}-8=(y+1)(8 y-1)

Passo 1

O enunciado pede para resolver em inteiros a equação
(3x+1)^{2}-8 = (y+1)(8y-1).
O conteúdo é equações diofantinas quadráticas, e vamos usar técnicas de expansão, conclusão de quadrados e busca de soluções inteiras.

Passo 2

Expandimos ambos os lados:
(3x+1)^{2}-8 = 9x^{2}+6x+1-8 = 9x^{2}+6x-7,
(y+1)(8y-1) = 8y^{2}+7y-1.
Logo a equação vira
9x^{2}+6x-7 = 8y^{2}+7y-1 \quad\Longleftrightarrow\quad 9x^{2}+6x -8y^{2}-7y -6 = 0.

Passo 3

Para facilitar, definimos
u = 3x+1, \quad w = 16y+7.
Fazendo conclusão de quadrados, verifica-se que a equação é equivalente a
32\,u^{2} - w^{2} = 175.

Passo 4

Procuramos inteiros u tais que 32u^{2}-175 seja quadrado perfeito. Testando valores de \lvert u\rvert pequenos, encontramos apenas
u=10,\;32\cdot10^{2}-175=3025=55^{2}, \quad u=-5,\;32\cdot(-5)^{2}-175=625=25^{2}.
Assim os pares (u,w) inteiros possíveis são (10,\pm55) e (-5,\pm25).

Passo 5

Voltando às variáveis originais:
para u=3x+1 e w=16y+7 temos
x = \frac{u-1}{3}, \quad y = \frac{w-7}{16}.
Destes pares, somente geram inteiros
(u,w)=(10,55)\;\Longrightarrow\;(x,y)=(3,3), \qquad (u,w)=(-5,-25)\;\Longrightarrow\;(x,y)=(-2,-2).

Resposta

As soluções inteiras são (x,y) = (3,3) e (x,y)=(-2,-2).

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