Em 1693, Samuel Pepys escreveu uma carta para Isaac Newton propondo-lhe um problema de probabilidade, relacionado a uma aposta que planejava fazer. Pepys perguntou o que é mais provável: obter pelo menos um 6 quando 6 dados são lançados, obter pelo menos dois 6 quando 12 dados são lançados, ou obter pelo menos três 6 quando 18 dados são lançados. Newton escreveu três cartas a Pepys e finalmente o convenceu de que o primeiro evento é mais provável. Calcule as três probabilidades.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de probabilidade que o Samuel Pepys propôs para o Isaac Newton. O que a gente precisa saber aqui é sobre probabilidade de eventos em lançamentos de dados. A gente vai calcular três situações diferentes: a probabilidade de tirar pelo menos um 6 em 6 dados, pelo menos dois 6s em 12 dados e pelo menos três 6s em 18 dados.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como calcular a probabilidade de obter pelo menos um 6 em 6 dados lançados. Para isso, é mais fácil calcular a probabilidade do evento contrário, ou seja, não tirar nenhum 6, e depois subtrair esse valor de 1.
A probabilidade de não tirar um 6 em um único dado é de $ \frac{5}{6} $, já que há 5 faces que não são 6. Como os lançamentos são independentes, a probabilidade de não tirar nenhum 6 em 6 dados é:
Então, a probabilidade de tirar pelo menos um 6 é:
Passo 3
Agora, vamos calcular a probabilidade de tirar pelo menos dois 6s em 12 dados lançados. Aqui, vamos usar a distribuição binomial, que nos ajuda a calcular a probabilidade de um certo número de sucessos (neste caso, tirar um 6) em um número fixo de tentativas.
A fórmula da probabilidade binomial é:
Onde:
- $ n $ é o número de tentativas (12),
- $ k $ é o número de sucessos desejados (pelo menos 2),
- $ p $ é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa ($ \frac{1}{6} $).
Para pelo menos dois 6s, precisamos somar as probabilidades de tirar 2, 3, …, até 12 6s. Porém, é mais fácil calcular a probabilidade de tirar menos de dois 6s (ou seja, 0 ou 1) e subtrair de 1:
Calculando $ P(0) $:
Calculando $ P(1) $:
Então:
Passo 4
Finalmente, vamos calcular a probabilidade de tirar pelo menos três 6s em 18 dados lançados. Vamos usar novamente a distribuição binomial.
Aqui, queremos a probabilidade de tirar pelo menos três 6s, então vamos calcular a probabilidade de tirar menos de três 6s (0, 1 ou 2) e subtrair de 1:
Calculando $ P(0) $:
Calculando $ P(1) $:
Calculando $ P(2) $:
Simplificando:
Então:
Resposta
Após realizar os cálculos, as probabilidades são:
- Pelo menos um 6 em 6 dados: aproximadamente 66,51%.
- Pelo menos dois 6s em 12 dados: aproximadamente 61,06%.
- Pelo menos três 6s em 18 dados: aproximadamente 42,30%.
Portanto, o evento de obter pelo menos um 6 em 6 dados é o mais provável dos três apresentados.