O número de erros tipográficos numa página de determinado livro é uma variável aleatória com distribuição de Poisson de parâmetro 1/2. Encontre a probabilidade de que haja três ou mais erros tipográficos nesta página. Calcule esta probabilidade dado que há pelo menos um erro nesta página.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre o número de erros tipográficos numa página de um livro, que segue uma distribuição de Poisson com parâmetro λ = 1/2. A gente precisa descobrir duas probabilidades:
- A probabilidade de ter três ou mais erros na página.
- Essa mesma probabilidade, mas sabendo que já tem pelo menos um erro na página.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma distribuição de Poisson. É uma distribuição de probabilidade que conta o número de eventos que acontecem em um intervalo fixo de tempo ou espaço, quando esses eventos acontecem com uma taxa média conhecida e de forma independente. Aqui, o evento é o erro tipográfico e a taxa média é λ = 1/2 erros por página.
A fórmula da distribuição de Poisson é:
Onde:
- $ P(X = k) $ é a probabilidade de ocorrer exatamente k erros.
- $ e $ é a base do logaritmo natural, aproximadamente 2,71828.
- $ \lambda $ é a taxa média de ocorrência (1/2 neste caso).
- $ k! $ é o fatorial de k.
Passo 3
Vamos calcular a primeira probabilidade: ter três ou mais erros na página, ou seja, $ P(X \geq 3) $.
Ao invés de calcular $ P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) + \dots $, que seria complicado, podemos usar uma propriedade da distribuição de Poisson:
Então, vamos calcular $ P(X = 0) $, $ P(X = 1) $ e $ P(X = 2) $ usando a fórmula da Poisson.
Passo 4
Calculando cada termo:
Para $ k = 0 $:
Para $ k = 1 $:
Para $ k = 2 $:
Passo 5
Agora, somamos essas probabilidades:
Então,
Passo 6
Agora, vamos calcular a segunda parte: a probabilidade de ter três ou mais erros dado que já existe pelo menos um erro, ou seja, $ P(X \geq 3 | X \geq 1) $.
Usamos a fórmula de probabilidade condicional:
Aqui, $ A $ é “ter três ou mais erros” e $ B $ é “ter pelo menos um erro”. Como se tiver três ou mais erros, já tem pelo menos um, então $ P(A \cap B) = P(A) $.
Portanto:
Já sabemos que $ P(X \geq 3) = 0,0144 $. Agora precisamos de $ P(X \geq 1) $:
Então,
Resposta
A probabilidade de que haja três ou mais erros tipográficos na página é aproximadamente 0,0144. Dado que há pelo menos um erro na página, a probabilidade de haver três ou mais erros é aproximadamente 0,0366.