O peso em gramas dos recém-nascidos em uma maternidade tem distribuição normal com parâmetro
. Sabe-se que
dos bebês nascem com um peso compreendido entre 2,5 e 3,5 quilos. Determine:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos o peso dos recém-nascidos em uma maternidade que segue uma distribuição normal com média (
) de 3000 gramas. Sabemos também que 98% dos bebês nascem com peso entre 2500 e 3500 gramas. Nosso objetivo aqui é determinar o desvio padrão (
) dessa distribuição.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que, em uma distribuição normal, a maioria dos dados está concentrada ao redor da média, e o desvio padrão (
) nos diz o quanto os dados se espalham em relação à média. Quanto menor o
, mais os dados estão próximos da média.
Passo 3
Sabemos que 98% dos dados estão entre 2500g e 3500g. Isso significa que estamos considerando uma faixa de
a
, onde
é o número de desvios padrão que correspondem a esse intervalo.
Passo 4
Vamos padronizar este intervalo para a distribuição normal padrão (com média 0 e desvio padrão 1). Para isso, usamos a fórmula:
Onde:
-
é o valor padronizado, -
é o valor original, -
é a média, -
é o desvio padrão.
Passo 5
Aplicando isso aos nossos valores extremos:
Para
:
Para
:
Passo 6
Sabemos que a probabilidade entre
e
é de 98%. Isso significa que a área entre
e
na curva normal padrão é 0,98.
Passo 7
Como a distribuição é simétrica, podemos dizer que
e
, onde
é o valor positivo que queremos encontrar.
Então, a probabilidade de
a
é 0,98.
Passo 8
Para encontrar o valor de
correspondente a 98% de probabilidade central, podemos usar a tabela da distribuição normal padrão ou uma calculadora estatística.
Sabemos que 98% da área está entre
e
, então cada cauda tem
(pois
, divididos igualmente nas duas extremidades).
Passo 9
Consultando a tabela da distribuição normal padrão, encontramos que o valor de
que corresponde a uma probabilidade acumulada de
(já que
) é aproximadamente
.
Passo 10
Agora, sabemos que:
Para encontrar
, rearranjamos a equação:
Passo 11
Calculando:
Resposta
O desvio padrão (
) da distribuição de pesos dos recém-nascidos é aproximadamente
gramas.