O peso em gramas dos recém-nascidos em uma maternidade tem distribuição normal com parâmetro mu=3000. Sabe-se que 98 % dos bebês nascem com um peso compreendido entre 2,5 e 3,5 quilos. Determine:

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos o peso dos recém-nascidos em uma maternidade que segue uma distribuição normal com média ( mu) de 3000 gramas. Sabemos também que 98% dos bebês nascem com peso entre 2500 e 3500 gramas. Nosso objetivo aqui é determinar o desvio padrão ( sigma) dessa distribuição.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que, em uma distribuição normal, a maioria dos dados está concentrada ao redor da média, e o desvio padrão ( sigma) nos diz o quanto os dados se espalham em relação à média. Quanto menor o sigma, mais os dados estão próximos da média.

Passo 3

Sabemos que 98% dos dados estão entre 2500g e 3500g. Isso significa que estamos considerando uma faixa de mu - asigma a mu + asigma, onde a é o número de desvios padrão que correspondem a esse intervalo.

Passo 4

Vamos padronizar este intervalo para a distribuição normal padrão (com média 0 e desvio padrão 1). Para isso, usamos a fórmula:
Z = X - musigma
Onde:
  • Z é o valor padronizado,
  • X é o valor original,
  • mu é a média,
  • sigma é o desvio padrão.

Passo 5

Aplicando isso aos nossos valores extremos:
Para X = 2500g:
Z1 = 2500 - 3000sigma = -500sigma
Para X = 3500g:
Z2 = 3500 - 3000sigma = 500sigma

Passo 6

Sabemos que a probabilidade entre Z1 e Z2 é de 98%. Isso significa que a área entre Z1 e Z2 na curva normal padrão é 0,98.

Passo 7

Como a distribuição é simétrica, podemos dizer que Z1 = -Z e Z2 = Z, onde Z é o valor positivo que queremos encontrar.
Então, a probabilidade de -Z a Z é 0,98.

Passo 8

Para encontrar o valor de Z correspondente a 98% de probabilidade central, podemos usar a tabela da distribuição normal padrão ou uma calculadora estatística.
Sabemos que 98% da área está entre -Z e Z, então cada cauda tem 1% (pois 100% - 98% = 2%, divididos igualmente nas duas extremidades).

Passo 9

Consultando a tabela da distribuição normal padrão, encontramos que o valor de Z que corresponde a uma probabilidade acumulada de 0,99 (já que 0,98/2 + 0,5 = 0,99) é aproximadamente 2,326.

Passo 10

Agora, sabemos que:
Z = 500sigma = 2,326
Para encontrar sigma, rearranjamos a equação:
sigma = 5002,326

Passo 11

Calculando:
sigma approx 5002,326 approx 214,94 gramas

Resposta

O desvio padrão ( sigma) da distribuição de pesos dos recém-nascidos é aproximadamente 214,94 gramas.

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