Às 17 h 15 min começa uma forte chuva, que cai com intensidade constante. Uma piscina em forma de um paralelepípedo retângulo, que se encontrava inicialmente vazia, começa a acumular a água da chuva e, às 18 horas, o nível da água em seu interior alcança 20 cm de altura. Nesse instante, é aberto o registro que libera o escoamento da água por um ralo localizado no fundo dessa piscina, cuja vazão é constante. Às 18 h 40 min a chuva cessa e, nesse exato instante, o nível da água na piscina baixou para 15 cm .
O instante em que a água dessa piscina terminar de escoar completamente está compreendido entre
A) 19 h 30 min e 20 h 10 min .
B) 19 h 20 min e 19 h 30 min .
C) 19 h 10 min e 19 h 20 min .
D) 19 h e 19 h 10 min .
E) 18 h 40 min e 19 h .
A) 19 h 30 min e 20 h 10 min .
B) 19 h 20 min e 19 h 30 min .
C) 19 h 10 min e 19 h 20 min .
D) 19 h e 19 h 10 min .
E) 18 h 40 min e 19 h .
Passo 1
O enunciado pergunta: em qual dos intervalos propostos (A–E) se encontra o instante em que a água termina de escoar completamente da piscina. Informações dadas e relevantes:
- A chuva começa às 17 h 15 min e tem intensidade constante.
- A piscina, inicialmente vazia, às 18 h tem nível de água igual a
. - Nesse instante (às 18 h) abre‑se o registro do ralo; a vazão do ralo é constante.
- A chuva cessa às 18 h 40 min e, exatamente nesse momento, o nível da água é
. - A piscina é um paralelepípedo (seção transversal constante).
Passo 2
Vamos transformar os intervalos de tempo em minutos para trabalhar com taxas:
- Tempo de chuva antes de abrir o ralo: das 17 h 15 min até 18 h →
minutos. - Tempo entre abrir o ralo e cessar a chuva: das 18 h até 18 h 40 min →
minutos.
Passo 3
Definimos taxas de variação do nível (em
):
- Seja
a taxa de aumento do nível causada somente pela chuva. - Seja
a taxa de diminuição do nível causada somente pelo ralo (valor positivo quando usado como magnitude).
Como a piscina tem seção constante, trabalhar com variação do nível é equivalente a trabalhar com vazões volumétricas: variação da alturavazão dividida pela área da base. Isso nos permite somar/subtrair taxas de altura diretamente.
Passo 4
Calculamos
usando o enunciado: da piscina vazia até
em
minutos pela chuva somente. Assim
Passo 5
Entre 18 h e 18 h 40 min (durante
min) atuam chuva e ralo simultaneamente, e o nível passa de
para
, ou seja, queda de
. A taxa líquida nesse intervalo é
Quando chuva e ralo atuam juntos, a taxa líquida é
. Portanto
Substituindo
obtemos
Passo 6
Após 18 h 40 min a chuva cessa e só fica o ralo, com taxa de escoamento correspondente a
. O nível nesse instante é
. O tempo necessário para escoar completamente é
Convertendo a parte decimal em segundos:
s. Logo
.
Passo 7
Somando esse tempo ao instante de término da chuva (18 h 40 min):
Portanto o escoamento termina por volta de
h
min, que está entre
h e
h
min.
Resposta
(D)