Às 17 h 15 min começa uma forte chuva, que cai com intensidade constante. Uma piscina em forma de um paralelepípedo retângulo, que se encontrava inicialmente vazia, começa a acumular a água da chuva e, às 18 horas, o nível da água em seu interior alcança 20 cm de altura. Nesse instante, é aberto o registro que libera o escoamento da água por um ralo localizado no fundo dessa piscina, cuja vazão é constante. Às 18 h 40 min a chuva cessa e, nesse exato instante, o nível da água na piscina baixou para 15 cm .
O instante em que a água dessa piscina terminar de escoar completamente está compreendido entre
A) 19 h 30 min e 20 h 10 min .
B) 19 h 20 min e 19 h 30 min .
C) 19 h 10 min e 19 h 20 min .
D) 19 h e 19 h 10 min .
E) 18 h 40 min e 19 h .

Passo 1

O enunciado pergunta: em qual dos intervalos propostos (A–E) se encontra o instante em que a água termina de escoar completamente da piscina. Informações dadas e relevantes:
  • A chuva começa às 17 h 15 min e tem intensidade constante.
  • A piscina, inicialmente vazia, às 18 h tem nível de água igual a 20\\ \text{cm}.
  • Nesse instante (às 18 h) abre‑se o registro do ralo; a vazão do ralo é constante.
  • A chuva cessa às 18 h 40 min e, exatamente nesse momento, o nível da água é 15\\ \text{cm}.
  • A piscina é um paralelepípedo (seção transversal constante).

Passo 2

Vamos transformar os intervalos de tempo em minutos para trabalhar com taxas:
  • Tempo de chuva antes de abrir o ralo: das 17 h 15 min até 18 h → 45 minutos.
  • Tempo entre abrir o ralo e cessar a chuva: das 18 h até 18 h 40 min → 40 minutos.

Passo 3

Definimos taxas de variação do nível (em \text{cm/min}):
  • Seja r a taxa de aumento do nível causada somente pela chuva.
  • Seja d a taxa de diminuição do nível causada somente pelo ralo (valor positivo quando usado como magnitude).
    Como a piscina tem seção constante, trabalhar com variação do nível é equivalente a trabalhar com vazões volumétricas: variação da altura \longleftrightarrow vazão dividida pela área da base. Isso nos permite somar/subtrair taxas de altura diretamente.

Passo 4

Calculamos r usando o enunciado: da piscina vazia até 20\\ \text{cm} em 45 minutos pela chuva somente. Assim
r=\frac{20}{45}=\frac{4}{9}\\ \text{cm/min}.

Passo 5

Entre 18 h e 18 h 40 min (durante 40 min) atuam chuva e ralo simultaneamente, e o nível passa de 20\\ \text{cm} para 15\\ \text{cm}, ou seja, queda de 5\\ \text{cm}. A taxa líquida nesse intervalo é
\text{taxa líquida}=\frac{15-20}{40}=-\frac{5}{40}=-\frac{1}{8}\\ \text{cm/min}.í
Quando chuva e ralo atuam juntos, a taxa líquida é r-d. Portanto
r-d=-\frac{1}{8}.
Substituindo r=\frac{4}{9} obtemos
d=\frac{4}{9}+\frac{1}{8}=\frac{32+9}{72}=\frac{41}{72}\\ \text{cm/min}.

Passo 6

Após 18 h 40 min a chuva cessa e só fica o ralo, com taxa de escoamento correspondente a \frac{41}{72}\\ \text{cm/min}. O nível nesse instante é 15\\ \text{cm}. O tempo necessário para escoar completamente é
t=\frac{15}{\,\dfrac{41}{72}\,}=15\cdot\frac{72}{41}=\frac{1080}{41}\\ \text{min}\approx 26{,}341\\ \text{min}.
Convertendo a parte decimal em segundos: 0{,}341\cdot 60\approx 20{,}5 s. Logo t\approx 26\\ \text{min}\\\ 20{,}5\\ \text{s}.

Passo 7

Somando esse tempo ao instante de término da chuva (18 h 40 min):
18{:}40{:}00 + 26\\ \text{min}\\\ 20{,}5\\ \text{s} \approx 19{:}06{:}20{,}5.
Portanto o escoamento termina por volta de 19 h 06 min, que está entre 19 h e 19 h 10 min.

Resposta

(D)

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