Para decorar sua casa, uma pessoa comprou um vaso de vidro em forma de um paralelepípedo retangular, cujas medidas internas são: 40 cm de comprimento, 35 cm de largura e 60 cm de altura. Em seguida, foi até uma floricultura e escolheu uma planta aquática para colocar nesse vaso. Segundo uma proposta do gerente do local, essa pessoa avaliou a possibilidade de enfeitar o vaso colocando uma certa quantidade de pedrinhas artificiais brancas, de volume igual a
cada uma delas, que ficarão totalmente imersas na água que será colocada no vaso. O gerente alertou que seria adequado, em função da planta escolhida, que metade do volume do vaso fosse preenchido com água e que, após as pedrinhas colocadas, a altura da água deveria ficar a 10 cm do topo do vaso, dando um razoável espaço para o crescimento da planta. A pessoa aceitou as sugestões apresentadas, adquirindo, além da planta, uma quantidade mínima de pedrinhas, satisfazendo as indicações do gerente.
Nas condições apresentadas, a quantidade de pedrinhas compradas foi
A) 140 .
B) 280 .
C) 350 .
D) 420 .
Nas condições apresentadas, a quantidade de pedrinhas compradas foi
A) 140 .
B) 280 .
C) 350 .
D) 420 .
Passo 1
O enunciado pede que calculemos a quantidade mínima de pedrinhas artificiais compradas. Informações relevantes dadas pelo problema (tudo em centímetros e centímetros cúbicos):
- As medidas internas do vaso são: comprimento
, largura e altura . - Cada pedrinha tem volume igual a
. - Inicialmente, o gerente indicou que metade do volume do vaso deveria ser preenchida com água.
- Depois de colocar as pedrinhas (todas totalmente imersas), a altura da água deve ficar a
do topo do vaso. Logo, a altura final da água do fundo do vaso será . - A pessoa comprou a quantidade mínima de pedrinhas que satisfazem essas condições.
Passo 2
Calcular o volume total interno do vaso. Para um paralelepípedo retangular, o volume é dado pelo produto da área da base pela altura. A área da base (comprimento vezes largura) é
Façamos a conta:
Portanto o volume total do vaso é
Calculando:
Passo 3
Calcular o volume inicial de água: o gerente pediu metade do volume do vaso. Então
Logo
Passo 4
Determinar a altura final da água conforme pedido: o topo do vaso está a
do fundo, e precisa sobrar
livres, então a altura final da água é
O volume de água correspondente a essa altura é a área da base vezes essa altura:
Calculando:
Passo 5
Explicar o efeito das pedrinhas: quando as pedrinhas são totalmente imersas, elas deslocam água num volume igual ao volume ocupado por elas (princípio do empuxo/deslocamento). Assim, para que o nível da água suba de
para
, o volume total das pedrinhas deve ser exatamente a diferença:
Portanto
Passo 6
Calcular o número mínimo de pedrinhas: cada pedrinha tem volume
, então o número necessário é
Logo
Temos um número inteiro, portanto essa é a quantidade mínima que satisfaz as condições.
Resposta
B)