Para decorar sua casa, uma pessoa comprou um vaso de vidro em forma de um paralelepípedo retangular, cujas medidas internas são: 40 cm de comprimento, 35 cm de largura e 60 cm de altura. Em seguida, foi até uma floricultura e escolheu uma planta aquática para colocar nesse vaso. Segundo uma proposta do gerente do local, essa pessoa avaliou a possibilidade de enfeitar o vaso colocando uma certa quantidade de pedrinhas artificiais brancas, de volume igual a 100 \mathrm{~cm}^{3} cada uma delas, que ficarão totalmente imersas na água que será colocada no vaso. O gerente alertou que seria adequado, em função da planta escolhida, que metade do volume do vaso fosse preenchido com água e que, após as pedrinhas colocadas, a altura da água deveria ficar a 10 cm do topo do vaso, dando um razoável espaço para o crescimento da planta. A pessoa aceitou as sugestões apresentadas, adquirindo, além da planta, uma quantidade mínima de pedrinhas, satisfazendo as indicações do gerente.
Nas condições apresentadas, a quantidade de pedrinhas compradas foi
A) 140 .
B) 280 .
C) 350 .
D) 420 .

Passo 1

O enunciado pede que calculemos a quantidade mínima de pedrinhas artificiais compradas. Informações relevantes dadas pelo problema (tudo em centímetros e centímetros cúbicos):
  • As medidas internas do vaso são: comprimento 40, largura 35 e altura 60.
  • Cada pedrinha tem volume igual a 100\\ \mathrm{cm}^3.
  • Inicialmente, o gerente indicou que metade do volume do vaso deveria ser preenchida com água.
  • Depois de colocar as pedrinhas (todas totalmente imersas), a altura da água deve ficar a 10\\ \mathrm{cm} do topo do vaso. Logo, a altura final da água do fundo do vaso será 60-10.
  • A pessoa comprou a quantidade mínima de pedrinhas que satisfazem essas condições.

Passo 2

Calcular o volume total interno do vaso. Para um paralelepípedo retangular, o volume é dado pelo produto da área da base pela altura. A área da base (comprimento vezes largura) é
A = 40 \cdot 35.
Façamos a conta:
A = 40 \cdot 35 = 1400\\ \mathrm{cm}^2.
Portanto o volume total do vaso é
V_{\text{vaso}} = A \cdot 60 = 1400 \cdot 60.
Calculando:
V_{\text{vaso}} = 84000\\ \mathrm{cm}^3.

Passo 3

Calcular o volume inicial de água: o gerente pediu metade do volume do vaso. Então
V_{\text{água inicial}} = \tfrac{1}{2} V_{\text{vaso}} = \tfrac{1}{2}\cdot84000.á
Logo
V_{\text{água inicial}} = 42000\\ \mathrm{cm}^3.á

Passo 4

Determinar a altura final da água conforme pedido: o topo do vaso está a 60\\ \mathrm{cm} do fundo, e precisa sobrar 10\\ \mathrm{cm} livres, então a altura final da água é
h_{\text{final}} = 60 - 10 = 50\\ \mathrm{cm}.
O volume de água correspondente a essa altura é a área da base vezes essa altura:
V_{\text{água final}} = A \cdot h_{\text{final}} = 1400 \cdot 50.á
Calculando:
V_{\text{água final}} = 70000\\ \mathrm{cm}^3.á

Passo 5

Explicar o efeito das pedrinhas: quando as pedrinhas são totalmente imersas, elas deslocam água num volume igual ao volume ocupado por elas (princípio do empuxo/deslocamento). Assim, para que o nível da água suba de V_{\text{água inicial}}á para V_{\text{água final}}á, o volume total das pedrinhas deve ser exatamente a diferença:
V_{\text{pedras total}} = V_{\text{água final}} - V_{\text{água inicial}} = 70000 - 42000.áá
Portanto
V_{\text{pedras total}} = 28000\\ \mathrm{cm}^3.

Passo 6

Calcular o número mínimo de pedrinhas: cada pedrinha tem volume 100\\ \mathrm{cm}^3, então o número necessário é
n = \frac{V_{\text{pedras total}}}{100} = \frac{28000}{100}.
Logo
n = 280.
Temos um número inteiro, portanto essa é a quantidade mínima que satisfaz as condições.

Resposta

B) 280

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